×

zbMATH — the first resource for mathematics

A study of functional equations. (Étude sur les équations fonctionelles.) (French) JFM 27.0311.03
Der Verf. setzt hier seine Untersuchungen über Functionalgleichungen fort. (Vgl. F. d. M. 25, 671, 1893/94, JFM 25.0671.02). Die Function \(\varphi(z)\) sei holomorph in der Umgebung der Punkte \(x_0, x_1, \dots, x_{k-1},\) und die Substitution \([z,\varphi(z)]\) führe diese Punkte cyklisch in einander über. Beschränkt man dann \(z\) auf die Umgebung von \(x_0,\) so werden sich \(z_1=\varphi(z),\) \(z_2=\varphi(z_1) =\varphi_2(z), \dots, z_{k-1}=\varphi(z_{k-2}) =\varphi_{k-1}(z)\) in der Umgebung der Punkte \(x_1, x_2, \dots, x_{k-1}\) bezüglich befinden. Es handelt sich nun darum, die Functionalgleichung \(p_0(z)f(z) +p_1(z)f(z_1) +\cdots +p_n(z)f(z_n)=0\) aufzulösen, in welcher \(p_0(z), p_1(z), \dots,p_n(z)\) gegebene Functionen, \(f(z)\) eine zu bestimmende Function bezeichnet. Die Lösung geschieht durch eine Reduction auf den Fall \(k=1,\) welcher durch die früheren Arbeiten des Verf. direct erledigt ist.
Den allgemeinen Untersuchungen seiner Theorie hinzu. Zur Kennzeichnung ihrer Art führen wir die folgenden beiden Fragen, mit denen sich der Verf. beispielsweise beschäftigt, an:
Welches sind diejenigen Curven, bei welchen die Ordinaten von \(n\) Punkten jedesmal eine vorgeschriebene lineare homogene Gleichung mit constanten Coefficienten befriedigen, wenn die zugehörigen Abscissen eine geometrische Progression mit gegebenen Quotienten bilden?
Auf einer ebenen Curve dritter Ordnung mit Doppelpunkt nimmt man einen Punkt an. Wann nähern sich die successiven (vorwärts oder rückwärts genommenen) Tangentialpunkte dieses Punktes einem bestimmten Grenzpunkte?

MSC:
39B12 Iteration theory, iterative and composite equations
PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI Numdam EuDML