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Neumann’s method and the Dirichlet problem. (La méthode de Neumann et le problème de Dirichlet.) (French) JFM 27.0316.01
Versteht man unter einer “harmonischen Function” eine Function \(V\) der reellen Variabeln \(x,y,z,\) die mit ihren Ableitungen endlich und stetig ist, im Unendlichen verschwindet und überdies der Laplace’schen Differentialgleichung \(\varDelta V=0\) genügt, so lässt sich das Problem von Dirichlet so aussprechen:
Man soll eine Function bestimmen, die in einem gegebenen Gebiete harmonisch ist und auf der Begrenzung des Gebietes gegebene Werte annimmt.
Bei der Behandlung dieses Problems spielen bekanntlich die Potentiale von einfachen und Doppelbelegungen eine wichtige Rolle. Bezeichnen \(S\) eine geschlossene Fläche, \(x',y',z'\) die Coordinaten eines Punktes auf \(S,\) ferner \(\mu'\) die Dichte in diesem Punkte, \(d\omega'\) das Oberflächenelement, \(r\) die Entfernung der Punkte \((x,y,z)\) und \((x',y',z'),\) endlich \(d\sigma'\) den räumlichen Winkel, unter welchem \(d\omega'\) vom Punkte \((x,y,z)\) aus erscheint, so sind \(W= \int \frac{\mu' d\omega'}{r},\) bez. \(W= \int \mu' d\sigma'\) die Definitionsgleichungen für die Potentiale einer einfachen, bez. einer Doppelbelegung. Diese Potentiale sind im ganzen Raume, abgesehen von den Punkten der Fläche \(S,\) harmonische Functionen. Im übrigen haben sie folgende charakteristische Eigenschaften: Man betrachte einen Punkt \((x',y',z')\) auf \(S\) und bezeichne mit \(V,\) bez. \(V'\) die Werte, von \(W\) in einem im Innern von \(S,\) bez. ausserhalb \(S\) liegenden Punkte, der dem Punkte \(x',y',z'\) unendlich nahe liegt; ferner bezeichne entsprechend \(dV/dn,\) bez. \(dV'/dn\) die in denselben Punkten stattfindenden Werte von \(dW/dn\) (der nach der äusseren Normale \(n\) der Fläche \(S\) genommenen Ableitung von \(W\)). Dann ist für das Potential einer einfachen Belegung: \(V=V',\) \(\frac {dV}{dn} =\frac {dV'}{dn} +4\pi\mu',\) dagegen für das Potential einer Doppelbelegung: \(V=V' +4\pi\mu',\) \(\frac {dV}{dn} =\frac {dV'}{dn}.\) Die Methode von Neumann zur Lösung des Dirichlet’schen Problems geht nun von folgender Aufgabe aus: Man soll auf der gegebenen Fläche \(S\) eine Doppelbelegung bestimmen, deren Potential der Gleichung (1) \(V-V' =\lambda (V+V') +2\varPhi\) genügt, wo \(\varPhi\) eine auf \(S\) gegebene Function bedeutet. Die Lösung dieser von Poincaré als “Neumann’sches Problem” bezeichneten Aufgabe giebt zugleich (indem man \(\lambda =\pm 1\) annimmt) die Lösung des Dirichlet’schen Problems. Versucht man die Gleichung (1) durch den Ansatz (2) \(W =W_0 +\lambda W_1 +\lambda^2 W_3 +\cdots\) zu genügen, so ergeben sich für die Coefficienten \(W_0, W_1, W_2,\dots\) die Bestimmungsgleichungen \(V_0 -V_0' =2\varPhi, V_1 -V_1' =V_0 +V_0', V_2 -V_2' =V_1 +V_1',\dots,\) welche zeigen, dass \(W_0\) das Potential einer Doppelbelegung von der Dichte \(\varPhi/2\pi, W_1\) dasjenige einer Doppelbelegung von der Dichte \((V_0 +V_0')/4\pi\) u. s. w. ist. Man kann also successive die verschiedenen Terme der Reihe (2) bestimmen. Es bleibt nur die Frage, ob die Reihe convergirt. Für den Fall, wo \(S\) eine nirgends concave Fläche ist, hat Neumann bewiesen, dass bei geeigneter Wahl der Constante \(C\) die Reihe \((W_0 -C) +\lambda (W_1 -C) +\lambda^2 (W_2 -C) +\cdots\) convergirt, so lange \(| \lambda | \leqq 1,\) und hierdurch ist dann auch das Problem von Dirichlet erledigt.
Gilt der nämliche Convergenz-Satz auch dann noch, wenn \(S\) nicht convex ist? Dies zu entscheiden, ist der Zweck der vorliegenden Abhandlung. Der Verf. gelangt zu dem Resultate, dass die aufgeworfene Frage zu bejahen ist unter folgenden Voraussetzungen:
1) Die Fläche \(S\) ist einfach zusammenhängend.
2) Die Fläche hat in jedem Punkte eine Tangentialebene und zwei bestimmte Hauptkrümmungsradien.
3) Die gegebene Function \(\varPhi\) besitzt Ableitungen aller Ordnungen. Der Beweis hierfür, welcher die ersten fünf Kapitel der Abhandlungen einnimmt, stützt sich vornehmlich auf die Untersuchung der Integrale der Form \[ \int\left\{ \frac {\partial W^{(1)}}{\partial x}\;\frac {\partial W^{(2)}}{\partial x} + \frac {\partial W^{(1)}}{\partial y}\;\frac {\partial W^{(2)}}{\partial y} + \frac {\partial W^{(1)}}{\partial z}\;\frac {\partial W^{(2)}}{\partial z} \right\} d\tau, \] wo \(W^{(1)}, W^{(2)}\) Potentiale (einfacher oder doppelter Belegungen) bedeuten und die Integration auf den inneren oder auf den äusseren von der Fläche \(S\) begrenzten Raum auszudehnen ist.
In dem sechsten Kapitel giebt der Verf. sehr interessante Entwickelungen, deren Richtigkeit er allerdings nicht streng nachzuweisen, sondern nur plausibel zu machen vermag. Diesen Entwickelungen zufolge giebt es zu jeder geschlossenen Fläche eine unendliche Reihe von “Fundamentalfunctionen”, welche Potentiale einfacher Belegungen sind und durch gewisse Eigenschaften charakterisirt sind, vermöge welcher jede willkürlich auf der Fläche gegebene Function nach diesen Fundamentalfunctionen entwickelbar ist. Ist die geschlossene Fläche eine Kugel, so fallen die Fundamentalfunctionen mit den Kugelfunctionen zusammen. Allgemein werden die Coefficienten in der Entwickelung einer willkürlichen Function nach den Fundamentalfunctionen durch bestimmte, über die geschlossene Fläche ausgedehnte Integrale dargestellt (ähnlich wie die Coefficienten in den Fourier’schen Reihen). Sind die Fundamentalfunctionen einer Fläche bekannt, so bietet die Lösung des Dirichlet’schen und Neumann’schen Problems für die betreffende Fläche keine Schwierigkeit. Die bei dieser Lösung erhaltenen Formeln werfen ein helles Licht auf die in den ersten fünf Kapiteln der Abhandlung verwendeten Betrachtungen. Im siebenten und letzten Kapitel beschäftigt sich endlich der Verf. mit dem Probleme von Robin. Dieses verlangt die Bestimmung einer einfachen Belegung, deren Potential die Bedingung \[ \frac {dV}{dn} -\frac {dV'}{dn} =\lambda \left( \frac {dV}{dn} +\frac {dV'}{dn}\right) +2\varPhi \] befriedigt, wo die Zeichen die oben erklärte Bedeutung haben. Auf dieses Problem lassen sich analoge Betrachtungen anwenden, wie sie der Verf. für das Problem von Neumann durchgeführt hat.

MSC:
31B20 Boundary value and inverse problems for harmonic functions in higher dimensions
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References:
[1] Il peut arriver que l’on sache que la fonctionW 1 est harmonique à l’intérieur et à l’extérieur deS et tend uniformément vers une même limiteV 1=V1’ quand on se rapproche deS; mais qu’on ne sache pas si \(\frac{{dV_1 }}{{dn}},\frac{{dV'_1 }}{{dn}}\) ont des valeurs finies et déterminées. On ne peut alors affirmer queW 1 soit effectivement le potentiel d’une simple couche. Le théorème n’en est pas moins applicable.
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