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Décomposition en facteurs de la fonction \(\varTheta [u^{(i)}(z)-G_i]\). (French) JFM 27.0345.03
Clebsch und Gordan geben in der “Theorie der Abel’schen Functionen” eine Formel, die in der Bezeichnung von Appell und Goursat sich folgendermassen schreiben lässt: \[ \begin{split} 2\log \frac {\varTheta [u^{(i)}(z)- u^{(i)}(z_1)- u^{(i)}(z_2)- \cdots- u^{(i)}(z_p)+ C_i]}{\varTheta [u^{(i)}(a)- u^{(i)}(z_1)- u^{(i)}(z_2)- \cdots- u^{(i)} (z_p)+ C_i]}\\ =\sum_k (u^{(k)}(z)- u^{(k)}(a))+ \sum_k [\varPi_{z_k' z_k}(z)- \varPi_{z_k' z_k}(a)]; \end{split} \] hierin sind \(z_1', z_2', \dots, z_p'\) algebraische Functionen von \(z_1, z_2, \dots, z_p\) einerseits und \(a\) und \(z\) andererseits, die eine einfache geometrische Bedeutung haben.
Im Anschluss an eine dem Referenten unzugängliche Arbeit über Functionen mit Exponentialmultiplicatoren (Ann. de l’Éc. Norm. (3) 12, Suppl.; F. d. M. 26, 451, 1895, JFM 26.0451.02) beweist der Verf. diese Formel, indem er das Integral \(\int \varPi_{az}(x)d \log \varPhi (x)\) über die Begrenzung der durch die bekannten Schnitte einfach zusammenhängend gemachten Riemann’schen Fläche erstreckt und alsdann die Verallgemeinerung des Cauchy’schen Theorems auf Riemann’sche Flächen anwendet.
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Full Text: DOI Numdam EuDML