×

zbMATH — the first resource for mathematics

Bemerkungen zu den vorstehenden Briefen. (German) JFM 27.0349.02
“Als kostbares Andenken an Arthur Cayley” (siehe auch JFM 27.0349.01), so äussert sich der Herausgeber, “bewahre ich vier Briefe des grossen Mathematikers an mich aus seinem letzten Lebensjahre, die eine mit den elliptischen Modulfunctionen in nahem Zusammenhange stehende Frage aus der Reihenlehre in Anregung bringen, die, so interessant und wichtig sie ist, bis jetzt noch weniger behandelt worden ist. Ich glaube, den Mathematikern einen Dienst zu erweisen, wenn ich diese Briefe, aus denen zu ersehen ist, mit welchen Fragen und Gedanken Cayley in der letzten Zeit seines Lebens beschäftigt war, in wortgetreuem Abdruck veröffentliche. Meine Antworten lasse ich nicht mit abdrucken. Ihr Inhalt ist aber in den am Schlusse zugefügten Bemerkungen enthalten.”
Setzt man nach dem Vorgange von Weber \[ f(\omega)= q^{-\tfrac{1}{24}}\prod_1^\infty (1+q^{2\nu-1}), \quad f_1(\omega)= q^{-\frac{1}{24}}\;\prod_1^\infty (1-q^{2\nu-1}), \]
\[ f_2(\omega)= \sqrt 2 q^{-\frac{1}{12}} \prod_1^\infty (1+q^{2\nu}), \quad (q=e^{\pi i\omega}), \] so gelten die Relationen \[ \text{(A)}\qquad f(-1/\omega)=f(\omega), \quad f_1(- 1/\omega)=f_2(\omega), \quad f_2(-1/\omega)=f_1(\omega). \] Die erste dieser Relationen wird in Evidenz gesetzt durch die Darstellung \[ \log f(\omega)= i\pi\left\{-\frac{\omega}{24}+ \frac {1}{24\omega}- \frac {1}{12}\;S_1+ \frac {1}{24}\;S_2+ \frac {1}{24}S_3\right\}, \] welche auch die Unendlichkeitsstellen von \(f(\omega)\) unmittelbar erkennen lässt. Es sind nämlich \(S_1,S_2\) und \(S_3\) gleich \(\sum\;\frac {1}{\nu^2\omega-\mu^2\omega^{-1}},\) wo \(\mu/\nu\) alle positiven Brüche durchläuft, in denen \(\mu\) und \(\nu\) beziehungsweise ungerade, ungerade; ungerade, gerade; gerade, ungerade sind, jedoch mit der Beschränkung, dass im Unendlichen \(\mu/\nu=\infty\) wird.
Dieser Darstellung von \(f(\omega),\) die Cayley bereits 1893 in den C. R. gegeben hatte (F. d. M. 25, 785, 1893/94, JFM 25.0785.01), lassen sich an die Seite stellen die entsprechenden Darstellungen von \(f_1(\omega)\) und \(f_2(\omega)\): \[ \begin{alignedat}{2} & \log f_1(\omega)= && i\pi \left\{ -\frac {\omega}{24}- \frac {1}{12\omega}+\frac {1}{24}\;S_1+ \frac {1}{24}\;S_2- \frac{1}{12}\;S_3\right\}\,,\\ & \log f_2(\omega)= \log \sqrt 2+ &&i\pi\left\{+\frac{\omega}{12}+ \frac {1}{24\omega}+ \frac{1}{24}\;S_1- \frac{1}{12}\;S_2+ \frac{1}{24}\;S_3\right\}, \end{alignedat} \] und der Beweis der beiden letzten Relationen \((A)\) wäre geliefert, wenn sich zeigen liesse, dass identisch \[ \log \sqrt 2+ \frac {i\pi}{24}\left\{(S_1-S_1')-2 (S_2-S_2')+ (S_3-S_3') \right\} =0 \] ist; hierin sind \(S_1',S_2',\) und \(S_3'\) dieselben Summen wie \(S_1,S_3,\) und \(S_2,\) jedoch mit der Beschränkung, dass im Unendlichen \(\mu/\nu=0\) wird. “But I am not able to verify this equation”, so sagt Cayley am Schlusse seines ersten Briefes.
H. Weber stellt sich nun die Aufgabe, die Natur dieser merkwürdigen Reihenentwickelungen genauer zu ergründen und dadurch die Frage Cayley’s zu beantworten. Ausgehend von der Kronecker’schen Formel \[ \lim_{s=1} \left[\sum_{x,y}\;\frac {1}{(Ax+2Bxy+Cx^2)^s}- \frac {\pi}{(s- 1)\sqrt m}\right] =-\frac{2\pi\varGamma'(1)}{\sqrt m}+ \frac{\pi}{\sqrt m}\;\log\;\frac{A}{4m}- \frac {2\pi}{\sqrt m}\;\log\eta (\omega_1)\eta(\omega_2), \]
\[ m=AC-B^2, \quad \omega_1= \frac{B+i\sqrt m}{A}, \quad \omega_2= \frac {- B+i\sqrt m}{A}, \]
\[ (\sqrt m\;\text{ positiv}), \quad \eta(\omega)= q^{\frac{1}{12}} \prod_1^\infty(1-q^{2\nu}), \] leitet er die streng gültigen Formeln her: \[ \text{(B)}\qquad \left\{\begin{matrix}\l\\ \frac{2\pi}{\beta}\;\log f(\alpha+i\beta)f(-\alpha+i\beta)=-\sum\;\frac{(- 1)^{x+y}}{(x-\alpha y)^2+\beta^2y^2}\,,\\ \frac{2\pi}{\beta}\;\log f_1(\alpha+i\beta)f_1(-\alpha+i\beta)=- \sum\;\frac{(-1)^{x}}{(x-\alpha y)^2+\beta^2y^2}\,,\\ \frac{2\pi}{\beta}\;\log f_2(\alpha+i\beta)f_2(-\alpha+i\beta)=- \sum\;\frac{(-1)^{y}}{(x-\alpha y)^2+\beta^2y^2}\,,\end{matrix}\right. \] in denen \(x,y\) alle ganzzahligen Werte ausser \(x=y=0\) durchlaufen. Für reelles \(i\omega\) ergeben sich aus ihnen die Formeln: \[ \text{(C)}\qquad \left\{\begin{matrix}\l\\ \log f(\omega)=\tfrac13\log\sqrt 2+\frac{\pi i}{24}\left(- \omega+\frac 1\omega-4S_1+2S_2+2S_3\right),\\ \log f_1(\omega)=\tfrac13\log\sqrt 2+\frac{\pi i}{24}\left(- \omega+\frac 2\omega-2S_1+2S_2+4S_3\right),\\ \log f_2(\omega)=\tfrac13\log\sqrt 2+\frac{\pi i}{24}\left(2\omega+\frac 1\omega- 2S_1+4S_2+2S_2\right),\end{matrix}\right. \] in denen die Summen \(S_1,S_2,S_3\) so zu verstehen sind, dass \(\mu,\nu\) an die Bedingung \(\mu^2- \nu^2\omega^2<n\) gebunden sind, und dann \(n\) ins Unendliche wächst. “Da die Art des Grenzübergangs von \(\omega\) abhängt, so wird man diese Formeln wohl nicht als eine “Darstellung” der Functionen \(\log f(\omega)\) bezeichnen dürfen.” “Diese Formeln unterscheiden sich von den Cayley’schen durch das Glied \(\frac{1}{3}\log \sqrt 2.\) Wenn man aber andere Arten des Grenzüberganges wählt, so können natürlich ganz andere Werte herauskommen.”
Mittels der Formeln (C) lassen sich die Relationen (A) unmittelbar verificiren; denn bei Vertauschung von \(\omega\) mit \(-1/ \omega\) gehen die Summen \(S_2\) und \(S_3\) in einander über, während \(S_1\) ungeändert bleibt.
Wollte man für complexes \(\omega\) ähnliche Formeln aufstellen, so wäre so zu verfahren. Die Formeln (B) lassen sich auch auf die Gestalt bringen: \[ (\text{B}')\qquad\left\{\begin{matrix}\l\\ \frac{4\pi i}{\omega}\;\log f(\omega)=-\lim_{s=1}\sum\;\frac{(- 1)^{x+y}}{(x^2-\omega^2y^2)^s}\,,\\ \frac{2\pi i}{\omega}\;\log f_1(\omega)=-\lim_{s=1}\sum\;\frac{(- 1)^{x}}{(x^2-\omega^2y^2)^s}\,,\\ \frac{2\pi i}{\omega}\;\log f_2(\omega)=-\lim_{s=1}\sum\;\frac{(- 1)^{y}}{(x^2-\omega^2y^2)^s}\,;\end{matrix}\right. \] in den Nennern steht in der Abhandlung selbst irrtümlich als Exponent 3 statt \(s.\) Jetzt müsste man in der \(xy\)-Ebene eine nach einem bestimmten Gesetz sich ins Unendliche vergrössernde geschlossene Curve finden (boundary curve nach Cayley), derart, dass man eine bis \(s=1\) einschliesslich stetige Function von \(s\) erhält, wenn man die in (B’) vorkommenden Summen so auffasst, dass zunächst nur die Werte \(x,y\) genommen werden, deren repräsentirende Punkte im Innern jener Curve liegen, und dann die Curve ins Unendliche ausdehnt. “Diese Curve wird, wenn sie überhaupt existirt, von \(\omega\) abhängig sein, und für den Fall eines rein imaginären \(\omega\) ist es eben die Ellipse \(x^2- \omega^2y^2=n,\) die sich selbst ähnlich ins Unendliche rückt. Für ein complexes \(\omega\) bin ich nicht im Stande, die Frage zu beantworten.”
Eine andere Auffassung der Cayley’schen Formeln ergiebt sich aus den streng gültigen Gleichungen Hilfe \[ (\text{D})\qquad \left\{\begin{matrix}\l\\ \sum^\infty_{y=1}\sum^\infty_{x=1}\;\frac{(- 1)^{x+y}\omega}{\omega^2y^2-x^2}=+\frac{\pi^2}{24\omega}- \frac{\pi^2\omega}{24}+\pi i\log f(\omega),\\ \sum^\infty_{y=1}\sum^\infty_{x=1}\;\frac{(- 1)^{x}\omega}{\omega^2y^2-x^2}=-\frac{\pi^2}{12\omega}- \frac{\pi^2\omega}{24}+\pi i\log f_1(\omega),\\ \sum^\infty_{y=1}\sum^\infty_{x=1}\;\frac{(- 1)^{y}\omega}{\omega^2y^2-x^2}=+\frac{\pi^2}{24\omega}- \frac{\pi^2\omega}{12}+\pi i\log f_2(\omega),\end{matrix}\right. \] in denen zuerst nach \(x,\) dann nach \(y\) zu summiren ist. Hiernach sind die Formeln (C) auch dann richtig, wenn man die Summen \(S_1,S_2\) und \(S_3\) in folgender Weise definirt; für \(\mu\) und \(\nu\) sind alle Paare positiver \(0<\nu<n\) genügen, und dann sollen \(m\) und \(n\) so ins Unendliche wachsen, dass auch \(m:n\) unendlich wird. Dabei ist \(\omega\) keiner Beschränkung unterworfen.
Veranlasst durch diese Ausführungen von Weber, weist Cayley in seinem vierten Briefe darauf hin, dass auch in der Theorie der Weierstrass’schen \(\sigma\)-Function eine ähnliche Frage gestellt werden kann. Nimmt man in \(\Pi_{(\omega)}' \left( 1-\frac {u}{w}\right) e^{\frac {u}{\omega}+\frac{1}{2} \frac {u^2}{\omega^2}} \quad (w= 2\mu\omega+ 2\mu'\omega')\) die Exponentialfactoren für sich und die binomischen Factoren für sich, so erhält man divergente oder wenigstens nur bedingt convergente Producte. Stellt man nun wieder die Zahlenpaare \(\mu\), \(\mu'\) als Gitterpunkte in einer Coordinatenebene dar, so kann man in dieser Ebene eine der Einfachheit halber in Bezug auf die Coordinatenaxen symmetrische “boundary curve” ziehen und erhält alsdann \[ \sigma(u)= -\lim \frac {\varPi (\omega-u)}{\varPi'(\omega)}\;e^{\frac {1}{2}u^2 \varSigma' \frac {1}{\omega^2}}, \] wenn die begrenzende Curve allseitig sich ins Unendliche ausdehnt. Unter diesen Umständen wird \[ \frac {\sigma(u+2\omega)}{\sigma(u)}= \frac {\varPi (-u-2\omega+w)}{\varPi (- u+w)}\;e^{(u+\omega) 2\omega \varSigma' \frac {1}{\omega^2}} \equiv - e^{2\eta(u+\omega)}, \] also wenn man mit Cayley den Productfactor \(=- e^{(u+w)M}\) setzt, \(2\eta=M+2\omega \varSigma'\;\frac {1} {w^2},\) und es kommt darauf an, für jede besondere Art der Grenzcurve die Grenze \(M\) zu bestimmen, was demnach ausser von der Natur dieser Curve nur von \(\omega\) und \(\omega',\) nicht von \(u\) abhängt.
Für die Grenze \(M\) giebt Weber eine bemerkenswerte Darstellung; es ist \(M=2\omega \left(\lim_{s=1} \varSigma'\, \frac {1}{w^{2s}}- \varSigma' \frac{1}{w^2}\right).\) “\(M\) würde sich also dann \(=0\) ergeben, wenn man die Glieder der Reihe \(\varSigma' \omega^{-2s}\) durch die Wahl der Grenzcurve so anordnen könnte, dass man eine bis \(s=1\) stetige Function von \(s\) erhält.”

PDF BibTeX XML Cite
Full Text: Link EuDML