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Intorno ad un carattere delle superficie e delle varietà superiori algebriche. (Italian) JFM 27.0454.01
Wenn man auf einer algebraischen Curve \(\gamma\) eine lineare Reihe betrachtet (d. h. eine Reihe, die durch einen Flächenbüschel geschnitten wird), von der die Ordnung \(n\) sei (d. h. die Zahl der Punkte jeder Gruppe der Reihe) und \(\nu\) die Zahl der Doppelpunkte, so kann man beweisen, dass die Zahl \(\frac12 \nu-n + 1\) von der betrachteten linearen Reihe ganz unabhängig ist; sie ist daher ein Charakter der Curve \(\gamma\), welchen man als Geschlecht \(p\) derselben definiren kann; daher erhält man \(\nu = 2 n + 2p - 2\). Wenn man auf einer Fläche \(F\) einen Büschel von Curven \(\gamma\) betrachtet (d. h. die Curven, welche durch einen Flächenbüschel auf \(F\) bestimmt werden), und mit \(p\) das Geschlecht des Büschels (d. h. das Geschlecht einer beliebigen Büschelcurve), mit \(\sigma\) die Zahl der Basispunkte derselben und mit \(\delta\) die Zahl der Punkte, welche für Curven des Büschels doppelt sind, bezeichnet, so kann man beweisen, dass die Zahl \(\delta - \sigma - 4p\) von dem betrachteten Bündel ganz unabhängig ist; sie ist daher ein neuer Charakter der Fläche \(F\), deren Einführung der Verf. eben in diesem Aufsatze vorschlägt. Bezeichnet man denselben durch \(P\), so hat man \(P = \delta - sigma - 4p\). Für eine punktallgemeine Fläche der Ordnung \(n\) ist \(P = (n-2)(n^2-2n + 2)\), während man für eine Regelfläche, deren Geschlecht \(P\) ist, \(P = -4p\) hat. Im allgemeinen: sind \(p\) und \(p^{(1)}\) resp. das Curven- und Flächengeschlecht von \(F\), so besteht zwischen \(p\), \(p^{(1)}\), \(P\) die Beziehung \(P = 12p - p^{(1)} + 9\). Durch Anwendung dieser Resultate auf die Ebene gelangt Segre zu bemerkenswerten Sätzen über die ebenen Curven, von denen einige als Verallgemeinerungen von bekannten Sätzen der abzählenden Geometrie angesehen werden können. Ohne bei diesen Details zu verweilen, bemerken wir lieber, dass, wenn man die Bezeichnung “Typus einer Fläche” im Clebsch’schen Sinne anwendet (vgl. den \(\S 8\) der Abhandlung “Ueber die geradlinigen Flächen vom Geschlecht \(p = 0\)”, Math. Ann. 5), man sagen kann: wenn zwei Flächen dieselben Typus haben, so haben sie auch dasselbe Geschlecht \(P\). Allgemeiner: wenn zwischen zwei algebraischen Flächen \(F\) und \(F_1\) eine birationale Transformation statt hat, welche nur gewöhnliche Fundamentalpunkte besitzt (resp. \(i\) und \(i_1\)), so herrscht unter den Zahlen \(P\), \(P_1\), \(i\), \(i_1\) die folgende Beziehung: \(P - P_1 = i_1 - i\).
Diese Betrachtungen können auf beliebige dreidimensionale Mannigfaltigkeiten erweitert werden; man erhält so einen Invariant-Charakter derselben, welcher, unter anderem, die Auflösung einiger anzahlgeometrischen Fragen über Flächenbüschel giebt.
Ist es nötig, ausdrücklich zu bemerken, dass der Verf. auf demselben Wege seine Betrachtung auch auf beliebig ausgedehnte Mannigfaltigkeiten jeder Ordnung erweitert?

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