Tactical memoranda I-III. (English) JFM 27.0472.02

Moore, E. H.

American J. 18, 264-303 (1896).

Der Verf. entwirft eine allgemeine, abstracte Theorie der geometrischen Configurationen. Man habe \(n\) Reihen von Objecten, so dass in der \(i^{\text{ten}}\) Reihe sich gerade \(a_i\) befinden; darin wird man die Objecte am geeignetsten mit \(\lambda_{ij}(i)\) \((i = 1,2,\dots,n\), \(j^{(i)} = 1,2,\dots, a_i)\) bezeichnen. Zwischen Objecten verschiedener Reihen soll ein Gesetz, eine “Incidenz” herrschen, die entscheiden lässt, ob \(\lambda_{i_1,j_1}\) mit \(\lambda_{i_2,j_2}\) \((i_1 \neq i_2)\) incident ist, oder nicht. Eine vollständige und geordnete Tabelle dieser Incidenzen dient als Ausdruck des gemeinten Gesetzes.
Ist im besonderen die Anzahl \(a_{gh}\), der Objecte der Reihe \(h\), die mit einem Objecte der Reihe \(g\) incident sind, für alle Objecte dieser Reihe die nämliche, so hat man eine “Rangconfiguration” vor sich, deren Charakter geradezu durch die quadratische Matrix der Zahlen \(a_{gh}\) \((a_{gg} = a_g)\) repräsentirt wird. Zu jeder Configuration \(C_f\) gehört eine intransitive Permutations-Gruppe \(G_{C_f}^a\), die jede Reihe als Ganzes, sowie die Tafel der Incidenzen invariant lässt, deren Ordnung \(a\) gleich \(a_1 + a_2 \cdots + a_n\) wird.
Für die Geometrie sind von besonderer Wichtigkeit die Configurationen für die einmal, die Coincidenz von \(\lambda_{i_1j_1}\) mit \(\lambda_{i_2j_2}\) stets auch die umgekehrte bedingt, sodann die, für welche – bei geeigneter Anordnung der Objecte – aus dem Bestehen der beiden Coincidenzen: \(\lambda_{i-1j_1}\) mit \(\lambda_{i_2j_2}\), \(\lambda_{i_2j_2}\) mit \(\lambda_{i_3j_3}\) stets folgen soll, dass auch \(\lambda_{i_1j_1}\) mit \(\lambda_{i_3j_3}\) coincidirt (wo entweder \(i_1 > i_2 > i_3\), oder \(i_1 < i_2 < i_3\)).
Der Verf. entwirft nun die aus der Combinatorik, Gruppentheorie und Geometrie bekannten Configurationen nebst geeigneten Verallgemeinerungen einer sorgfältigen Untersuchung; die bezüglichen Anzahlfragen werden vielfach auf einfache gruppentheoretische, resp. zahlentheoretische Methoden zurückgebracht, aber auch umgekehrt die Lösungen auf complicirtere zahlentheoretische Aufgaben angewandt. Einen Ueberblick über die Methoden des Verf. wird man erst erhalten, wenn die Arbeit abgeschlossen vorliegt; für eine Reihe von Aufgaben wird vorab nur ein Ansatz geliefert.

Reviewer: Meyer, F., Prof. (Königsberg i. Pr.)

JFM Section:

Neunter Abschnitt. Analytische Geometrie. Kapitel 2. Analytische Geometrie der Ebene. B. Theorie der algebraischen Curven.