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Surfaces rapportées à un réseau conjugué azimutal. (French) JFM 27.0498.02

Der Schnitt einer um eine feste Gerade (die \(z\)-Axe) rotirenden Ebene mit einer beliebigen Fläche beschreibt eine Schar ebener Curven; der Ort der Berührungspunkte derjenigen Tangenten an der Fläche, welche durch denselben Punkt der \(z\)-Axe gehen, ist eine Curve, die bei Variation des Punktes eine zweite Curvenschar bildet. Nach einem Satze von Koenigs bilden beide Curvenscharen auf der Fläche ein conjugirtes Netz. In den Parametern \(u\) und \(v\), wo \(u\) längs den ersteren, \(v\) längs den letzteren Curven variirt, lauten die Gleichungen der Fläche: \[ x= -\frac {1}{\varphi_v'}\,, \quad y= -\frac u{\varphi_v'}\,, \quad z= v-\frac{\varphi(u, v)}{\varphi_v'}\,, \] woraus sich leicht ergiebt, dass \(u\) und \(v\) conjugirt sind. Hiervon folgen zwei Anwendungen. Die Parameterlinien werden Krümmungslinien, wenn nur \(\varphi\) die Bedingung eines rechtwinkligen Netzes erfüllt. Die Bedingungsgleichung wird unmittelbar durch Quadratur integrirt und ergiebt den Wert: \(\varphi = \sqrt{1+u^2}\;\frac {e^{V-U}-e^{U-V}}{2}\), wo \(U\) von \(u\), \(V\) von \(v\) willkürliche Function ist. Nach dessen Einsetzung in die obigen Gleichungen erhält man den allgemeinen Ausdruck “Joachimsthal’schen” Fläche, nämlich einer Fläche von der Eigenschaft, dass die eine Schar von Krümmungslinien eben ist, und deren Ebenen durch eine feste Gerade gehen. Die Curven \(v= \text{const.}\) sind die Kreise \(x^2+y^2+(z-v)^2=V^{\prime-2}\). Als zweite Anwendung wird durch Bestimmung von \(\varphi\) das conjugirte Netz zu einem solchen für gleiche Invarianten gemacht. Dieser Bedingung genügt der Wert: \(\varphi = U_0(U_v-V)+U_1\).

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Full Text: DOI Numdam EuDML