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Sur la déformation des surfaces. (French) JFM 27.0508.01

Die vorliegende Abhandlung, welche 1894 mit dem grossen Preise der Pariser Akademie gekrönt wurde, greift das Problem, “alle Flächen zu finden, welche ein gegebenes Linienelement haben”, von einem anderen Ausgangspunkte an, als es bisher geschah, und giebt eine völlig neue, geniale Methode zur Lösung desselben. Durch sie gelangt der Verf. zu einer, von den gewöhnlichen verschiedenen, partiellen Differentialgleichung zweiter Ordnung (Fundamentalgleichung), die ebenfalls, wie jene, die Form der Ampère’schen Gleichungen besitzt, aber unter gewissen Bedingungen, die festgelegt werden, intermediäre Integrale erster Ordnung zulässt, oder in anderen Fällen durch die Methode von Laplace integrirt werden kann. Der wesentlichste Fortschritt aber besteht darin, dass diese partielle Differentialgleichung als die gemeinsame Quelle angesehen werden kann, aus welcher alle bis jetzt bekannten Lösungen des Problems fliessen.
Da sich die Methode, mit welcher die Bildung der Fundamentalgleichung vollzogen wird, nicht in wenigen Worten schildern lässt, so müssen wir hierzu auf die Abhandlung selbst verweisen und beschränken uns darauf, die wichtigsten Resultate, die aus ihr gewonnen werden, zu notiren:
1. Die Fundamentalgleichung lässt nur dann zwei allgemeine intermediäre Integrale erster Ordnung zu, wenn das Quadrat des Linienelementes der vorgelegten Fläche auf die Form \(ds^2=t^2dr^2+(lt^2+m)dt^2\) gebracht werden kann; und umgekehrt: alle Flächen, welche dieses Linienelement besitzen, führen auf eine Fundamentalgleichung, welche durch die Methode von Ampère integrirt werden kann, wodurch alle diese Flächen bestimmt sind; es sind dies jene, die Darboux im III. Band S. 369 ff. seines Werkes: “Théorie générale des surfaces” gegeben hat.
2. Eine andere Form der Fundamentalgleichung lässt sich durch die Methode von Laplace integriren und führt auf alle jene Flächen, welche ein Linienelement von der Form: \(ds^2=(d\sigma-2f(z)dz)^2+4\sigma dz^2\) haben. Für \(f(z)= \beta(1-\beta)z\), wo \(\beta\) eine beliebige Constante ist, ergeben sich daraus die bereits von Baroni, Goursat und dem Autor früher behandelten Flächen; für \(f(z)=e^z+2\) geht die Fundamentalgleichung in eine Form über, welche bereits von Liouville allgemein integrirt wurde, während der Autor die sämtlichen Flächen bestimmte, die dem entsprechenden Linienelement zugehören (C. R. 112, F. d. M. 23, 810-813, 1891, JFM 23.0810.01; JFM 23.0810.02; JFM 23.0810.03; JFM 23.0811.01; JFM 23.0812.01, und C. R. 116, F. d. M. 25, 617, 1893/94, JFM 25.0617.02).
Die vorliegende Arbeit ist von grosser Bedeutung und enthält eine Fülle neuer Gedanken, deren Ausarbeitung das Problem der Flächenbiegung wesentlich fördern dürfte.

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References:

[1] contenant une constante arbitraire.
[2] Edz 2+2Fdzd#x03C3;+Gd{\(\sigma\)}2 étant une forme réduite, \(\left( {P^2 + Q^2 } \right)dz^2 + 2\left( {PP_1 + QQ_1 } \right)dzd\sigma + \left( {P_1^2 + Q_1^2 } \right)d\sigma ^2 ,\) e’est à diredX” 2+dY”2+dZ”2 le sera aussi.
[3] Bianchi, Lezioni di Geometria Differentiale, p. 137.
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