×

Sulle varietà algebriche dello spazio a quattro dimensioni con un gruppo continuo integrabile di trasformazioni projettive in sè. (Italian) JFM 27.0537.03

Ven. Ist. Atti (7) 7, 1069-1103 (1896).
Wie bekannt, bezeichnet man als integrabel jede \(r\)-gliedrige Gruppe, deren so und sovielte Derivirte bloss aus der identischen Transformation besteht. Erinnern wir auch an den folgenden Lie’schen Satz: Eine \(r\)-gliedrige Gruppe \(X_1f,\dots, X_rf\) ist dann und nur dann integrabel, wenn sich in ihr \(r\) unabhängige infinitesimale Transformationen \(Y_1f,\dots,Y_rf\) so auswählen lassen, dass \(Y_1f,\dots, Y_if\) jedesmal eine \(i\)-gliedrige Untergruppe erzeugen, die in der \(r\)-gliedrigen invariant ist. Durch Anwendung dieses Satzes beweist der Verf., dass im vierdimensionalen Raume \(R_4\), jede continuirliche integrable Gruppe von projectiven Transformationen mindestens einen festen Doppelpunkt besitzt, eine feste durch diesen Punkt gehende Doppelgerade, eine feste durch diese Gerade gehende Doppelebene und einen festen durch diese Ebene geltenden Doppelraum. Diese Bemerkung dient als Grundlage für die Bestimmung aller algebraischen dreidimensionalen Mannigfaltigkeiten von \(R_4\), welche eine integrable continuirliche Gruppe projectiver Transformationen in sich besitzen; welche Bestimmung der Hauptzweck der vorliegenden Abhandlung ist. Wir können nicht die Analyse wiedergeben, welche diesem Zwecke dient; es genüge, die Resultate derselben anzuführen:
Die dreidimensionalen algebraischen Mannigfaltigkeiten des \(R_4\), die eine continuirliche integrable Gruppe von \(\infty^4\) projectiven Transformationen enthalten, sind:
I. Eine Mannigfaltigkeit vierter Ordnung, welche aus \(\infty^1\) Ebenen besteht und eine dreifache Ebene besitzt; ihre Gleichung ist: \[ x^4_2+ x^3_1x_3+ x^2_1x_2x_4+ x_1x^2_2x_5= 0. \] II. Eine kubische Mannigfaltigkeit mit zwei Doppelkegelschnitten; ihre Gleichung ist: \(x_1x^2_4+ x_2x^2_3= x_1x_2x_5\).
III. Eine andere kubische Mannigfaltigkeit, welche zwei sich schneidende Geraden besitzt und folgende Gleichung hat: \[ x^2_1x_4+ x^2_2x_5+ x_1x_3x_5= 0\,. \] IV. Eine biquadratische Mannigfaltigkeit, welche eine Doppelebene, eine darin enthaltene dreifache Gerade und einen auf dieser gelegenen singulären Punkt besitzt; ihre Gleichung ist \[ 6x^4_2- 12x_1x^2_2x_3+ 4x^2_1x_2x_4- x^3_1x_5+ 3x^2_1x^2_3= 0\,. \] V. Mannigfaltigkeiten beliebiger Ordnung, welche eine Gleichung der Form \(x_1^{k-2}f= x^k_2\) haben, wo \(f\) eine quadratische Form ist.
Man hat ferner die kubische Mannigfaltigkeit, \(x^2_1x_5- 3x_1x_2x_4+ 2x^3_2- x_1x^2_3= 0\), welche \(\infty^5\) lineare Verwandtschaften in sich hat.