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Geometrie der Berührungstransformationen. Dargestellt von S. Lie und G. Scheffers. I. Band. (German) JFM 27.0547.01

Leipzig: B. G. Teubner. XII + 694 S. gr \(8^\circ\) (1896).
Die analytische Theorie der Berührungstransformationen findet man im zweiten Bande der von Lie und Engel herausgegebenen Vorlesungen über endliche continuirliche Transformationsgruppen dargestellt. (cf. F. d. M. 21, 356, 1889, JFM 21.0356.02; 23, 364, 1891, JFM 23.0364.01).
Der vorliegende (erste) Band entwickelt diese Theorie von geometrischen Gesichtspunkten aus; er verfolgt in diesem Sinne das Ziel, den Leser in die grundlegenden Abhandlungen Lie’s aus den Jahren 1870-1871 einzuführen.
Das Buch zerfällt in drei grössere Abschnitte. Im ersten Abschnitt wird die Lehre von den Linienelementen der Ebene begründet und es werden die zugehörigen Berührungstransformationen (kürzer “B.-T.”), insbesondere die infinitesimalen, entwickelt und aufgestellt.
Die Erweiterung auf den (gewöhnlichen) Raum geht dann in doppelter Richtung vor sich: auf der einen Seite stehen die Linienelemente des Raumes, auf der anderen die Flächenelemente. Das ist der Inhalt des zweiten und dritten Abschnitts; zugleich wird eine Theorie der mit den Linien- und Flächenelementen verknüpften Differentialgleichungen aufgebaut, während eine eingehende Untersuchung der bezüglichen B.-T. einem zweiten Bande vorbehalten ist.
Der erste Abschnitt beginnt zweckmässigerweise mit einer Reihe klassischer, den Geometern längst geläufiger Transformationen, die sich als B.-T. in einer Ebene (resp. einer Ebene in eine andere) auffassen lassen Dahin gehören die Orthogonalprojection einer Ebene auf eine andere, die allgemeine ebene projective Punktransformation und die Inversion in der Ebene (Transformation durch reziproke Radien).
Durch eine solche Transformation wird je einem Punkte \(P\) einer Ebene ein anderer Punkt \(P'\) (derselben oder einer anderen Ebene) zugeordnet und umgekehrt. Wegen der Stetigkeit der Transformation entspricht auch jedem, zu \(P\) benachbarten Punkte \(Q\) ein bestimmter, zu \(P'\) benachbarter Punkt \(Q'\). Bezeichnet man mit Lie die Figur eines Punktes nebst einer durch ihn gehenden Richtung (Geraden) als ein Linienelement (kürzer “L.-E.”), so führt also unsere Transformation jedes L.-E. der Ebene wiederum in ein solches über. Da hierbei sich berührende Curven wieder in solche übergehen, so heissen solche Transformationen “B.-T.”, und zwar “uneigentliche”, da die sämtlichen Linienelemente eines Punktes \(P\) wieder zu den sämtlichen Linienelemente eines Punktes \(P'\) werden. Seien (1) \(x_1 = X(x, y)\), \(y_1 = Y(x, y)\) die Gleichungen der Punkttransformation, so ergiebt die Differentiation für die Transformation der Richtungen: (2) \(p_1 = \frac {Y_x+ Y_yp}{X_x+ X_yp}\), wo \(p = \frac {dy}{dx}\), \(p_1= \frac {dy_1}{dx_1}\) und die \(X_x\) etc. partielle Differentialquotienten bedeuten. Die Gleichungen (1), (2) zusammen stellen die “erweiterte” Punkttransformation dar.
Darüber hinaus giebt es “eigentliche” B.-T., welche die Linienelemente einer Curve, aber auch eines Punktes im allgemeinen in die Linienelemente einer Curve überführen.
Als treffende Beispiele hierfür werden untersucht die “Transformation durch reciproke Polaren”, die “Dilatation”, die “Fusspunkttransformation”.
Um nun die B.-T. der Ebene allgemein zu entwickeln, wird es offenbar erforderlich, einen Begriff aufzustellen, der die Begriffe “Punkt” und “Curve”, und nur diese, umfasst; das ist der “Elementverein”. Analytisch bestimmt sich ein Elementverein als eine solche Schar von \(\infty^1\) L.-E. \((x, y, p)\), die der Differentialrelation: (3) \(dy- pdx = 0\) genügen. Der Nutzen dieses Begriffes zeigt sich schon bei der Aufgabe, eine gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung \(F(x, y, p)= 0\) zu integriren: man hat eben alle Elementvereine zu bestimmen, deren Elemente die Gleichung \(F = 0\) erfüllen. Eine B.-T. der Ebene ist nun einfach eine solche Transformation: (4) \(x_1 = X(x, y, p)\), \(y_1 = Y(x, y, p)\), \(p_1 = P(x, y, p)\), die jeden Verein von Elementen \((x, y, p)\) wieder in einen Elementverein überführt. Das analytische Kriterium dafür ist das Bestehen einer Relation von der Form: (5) \(dy_1- p_1dx_1= \varrho(x, y, p) (dy- pdx)\), wo \(\varrho\) nicht identisch verschwinden darf.
Im Falle einer eigentlichen B.-T. ziehen die drei Relationen (4) eine einzige, von \(p\) und \(p_1\), freie Relation nach sich: (6) \(\varOmega(x, y, x_1, y_1)= 0\), und umgekehrt bestimmt eine solche beliebig gegebene Gleichung (6) eine B.-T. völlig, wenn man noch die Forderung hinzufügt, dass \(\varOmega = 0\) bei variabeln \(x, y\) wirklich \(\infty^2\) verschiedene Curven darstellt. Die Rechnung zeigt, dass man so alle B.-T. der Ebene durch ausführbare “Operationen”, nämlich durch Differentiationen und Eliminationen, erhält.
Eine zweite Methode zur Bestimmung aller B.-T. verlangt zwar Integrationen von Differentialgleichungen, dringt aber ungleich tiefer ein; sie beruht darauf, dass die Functionen \(X\), \(Y\), \(P\) in (4) durch gewisse Differentialrelationen verknüpft sind, deren Bestehen umgekehrt ein Kriterium für eine B.-T. ergeben. Die Differentiation der Relation (5) führt nämlich zu der notwendigen und hinreichenden Relation zwischen \(X, Y\): (7) \([X,Y] \equiv X_p(Y_x+ pY_y)- Y_p(X_x+ pX_y)= 0\), wo \([X, Y]\) als “Poisson’sches Klammersymbol” bezeichnet wird; \(X\), \(Y\) “liegen dann in Involution”.
Umgekehrt, ist (7) erfüllt, so ergeben sich für \(P\) und \(\varrho\) eindeutige Werte, so dass also (7) geradezu eine B.-T. definirt.
Zugleich ergiebt sich, dass \([PX] \equiv \varrho\), \([PY] \equiv \varrho P\) wird. Geometrisch sagt die Involutionsbeziehung (7) aus, dass die Gleichungen \(X= \text{const.}\), \(Y = \text{const.}\) die \(\infty^1\) L.E. \((x, y, p)\) eines Elementvereines bilden.
Eine wichtige Eigenschaft der B.-T. (der Ebene) ist, dass jede Differentialgleichung zweiter Ordnung in \(x, y\) durch eine passende B.-T. in jede andere derartige Gleichung übergeführt werden kann, d. h. dass eine solche Differentialgleichung keine gegenüber allen B.-T. invariante Eigenschaft besitzt.
Trotz der angegebenen Methoden zur Bestimmung aller B.-T. (der Ebene) kann man keineswegs eine allgemeine explicite Form der B.-T. angeben. Dies wird erst ermöglicht durch Einführung der “infinitesimalen” B.-T., bei denen also die L.-E. nur unendlich kleine Aenderungen erfahren. Die allgemeine Form der infinitesimalen B.-T. ist explicite darstellbar; sie enthält eine willkürliche Function von \(x,y,p\) (nebst deren Ableitungen erster Ordnung).
Es liege eine continuirliche “eingliedrige” Schar von \(\infty^1\) B.-T. vor: (8) \(x_1=X(x, y, p, a)\), \(y_1= Y(x, y, p, a)\), \(p_1= P(x, y, p, a)\), (wo \(a\) einen Parameter bedeutet), die eine “Gruppe” bildet, so dass also die Aufeinanderfolge zweier Transformationen (8) wieder einer Transformation (8) äquivalent ist. Die Gruppe enthalte zudem die “identische” Transformation, so dass, etwa für \(a = 0\), (9) \(x_1 = x\), \(y_1 = y\), \(p_1=p\) wird. Für einen unendlich kleinen Wert \(\delta t\) von \(a\) resultirt dann eine “infinitesimale” B.-T.: (10) \(x_1 = x+ \xi\delta t+ \cdots\), \(y_1= y+ \eta\delta t+ \cdots\), \(p_1= p+ \pi\delta t+ \cdots\).
Umgekehrt lässt sich zeigen, dass eine beliebig gegebene infinitesimale B.-T. stets in einer eingliederigen Gruppe von B.-T. enthalten ist.
Die Incremente \(\delta x\), \(\delta y\), \(\delta p\) einer infinitesimalen B.-T. haben die Relation (5) zu befriedigen. Durch Entwickelung nach Potenzen von \(\delta t\) und Coefficientenvergleichung ergiebt sich, dass die \(\delta x\), \(\delta y\), \(\delta p\) die Gestalt haben: (11) \(\delta x= W_p\delta t\), \(\delta y= (pW_p- W)\delta t\), \(\delta p= -(W_x+ pW_y)\delta t\), wo \(W\) eine ganz willkürliche Function von \(x, y, p\) ist.
Eine beliebige Function \(f(x, y, p)\) erfährt bei der infinitesimalen B.-T. (11) den Zuwachs: (12) \(\delta f = \{[Wf]- Wf_y\}\delta t= Bf. \delta t\), wo \(Bf\) als “Symbol” der infinitesimalen B.-T. dient, während \(W\) ihre “charakteristische Function” heisst.
Jede infinitesimale B.-T. (der Ebene) lässt zwei von einander unabhängige Functionen \(u, v\) von \(x, y, p\) invariant, und die allgemeinste invariante Function von \(x, y, p\) oder “Differentialvariante erster Ordnung” ist eine beliebige Function jener beiden; kennt man von diesen eine, so findet man eine zweite durch Quadratur.
Liegen zwei infinitesimale B.-T. vor, \(B_1f\) und \(B_2f\), so ist auch der “Klammerausdruck” (13) \(B_1(B_2f)- B_2(B_1f)\) eine infinitesimale B.-T. Dann und nur dann, wenn der Klammerausdruck verschwindet, sind \(B_1f\) und \(B_2f\) “vertauschbar”, d. h. ihre Reihenfolge ist gleichgültig.
Zwei vertauschbare (und wirklich verschiedene) infinitesimale B.-T. lassen sich durch Einführung neuer Veränderlicher auf die Form der inifinitesimalen “Translationen” \(\partial f/\partial x\), \(\partial f/\partial y\) bringen.
Von den zahlreichen Anwendungen dieser Begriffe und Sätze heben wir nur die schwierigste hervor, die das merkwürdige und wichtige geometrische Problem vollständig löst: Welche Form muss das Quadrat des Bogenelements einer Fläche haben, auf der die Schar aller geodätischer Kreise unendlich viele B.-T. gestattet? Es sind das die Flächen constanter Krümmung und die Spiralflächen.
Wir müssen uns beeilen, zum zweiten Abschnitt überzugehen, der die L.-E. des Raumes behandelt. Der Uebergang wird dadurch vermittelt, dass jetzt \(x, y, p\) zugleich als Coordinaten eines Raumpunktes angesehen werden. Um den Bildpunkt des L.-E. \((x, y, p)\) zu erhalten, hat man nur im Punkte des Elementes ein Lot von der Länge \(p\) aufzutragen; der Endpunkt des Lotes ist der Bildpunkt.
Auf diese Weise ordnet die Gleichung \((5')\) \(dy- pdx = 0\) jedem Punkte \((x, y, p)\) des Raumes einen ebenen Büschel von Fortschreitungsrichtungen oder L.-E. zu.
Eine lineare homogene Gleichung in \(dx\), \(dy\), \(dz\), deren Coefficienten Functionen von \(x, y, p\) sind, heisst eine “Pfaff’sche Gleichung”: \((5')\) ist also eine specielle Pfaff’sche Gleichung.
Die Elementvereine der \((x, y)\)-Ebene bilden sich im Raume als die Integralcurven von \((5')\) ab, d. h. als die Curven, deren L.-E. die Gleichung \((5')\) erfüllen.
Ein besonderes Kapitel ist der Reduction der Pfaff’schen Gleichungen (und ihrer linken Seiten, der “Pfaff’schen Ausdrücke”) auf kanonische Formen gewidmet. Die Rolle, welche dabei die Form \((5')\) spielt, erkennt man aus dem Satze, dass sich jede Pfaff’sche Gleichung \(X\,dx+ Y\,dy+ P\,dp= 0\) durch Einführung passender neuer Veränderlicher auf eine der beiden Formen \(dx= 0\) und \((5')\) bringen lässt, die selbst nicht in einander überführbar sind.
Indem wir die höchst interessanten Zusammenhänge zwischen gewissen Pfaff’schen Gleichungen einerseits, den Geraden eines Nullsystems und den Kreisen einer Ebene andererseits bei Seite lassen, gehen wir zu den allgemeineren, fundamentalen Liniencomplexen über. Wir schreiben jetzt lieber \(x, y, z\) für die Coordinaten eines Raumpunktes. Eine in \(dx\), \(dy\), \(dz\) homogene Gleichung: (14) \(\varOmega(x, y, z; dx, dy, dz)= 0\) heisst eine “Monge’sche”, die also die Pfaff’sche als Specialfall enthält. Die Bestimmungsstücke (“Coordinaten”) eines L.-E. im Raume sind die Coordinaten \(x, y, z\) eines Punktes und die beiden Verhältnisse der Incremente \(dx\), \(dy\), \(dz\), welche die Richtung des L.-E. angeben.
Aus dem \(\infty^5\) L.-E. des Raumes sondert eine Monge’sche Gleichung (14) eine \(\infty^4\)-Schar aus; durch jeden Raumpunkt geht dann noch eine \(\infty^1\)-Schar von L.-E., deren Richtungen den “Elementarkegel” des Punktes bilden. auf einer beliebigen Fläche werden daher durch (14) jedem Punkte der Fläche gewisse Fortschreitungsrichtungen zugeordnet, d. h. auf jeder Fläche liegen eine oder mehrere Scharen von \(\infty^1\) Integralcurven von (14).
Insbesondere sind die Gleichungen (14) von Wichtigkeit, die \(\infty^3\) Gerade als Integralcurven besitzen. Das ist dann, und nur dann, der Fall, wenn die Monge’sche Gleichung die (in den sechs Argumenten homogene) Gestalt hat: \[ (15)\qquad \varPhi(ydz- zdy, zdx- xdz, xdy- ydx, dx, dy, dz)= 0. \] Eine Schar von \(\infty^3\) Geraden (die also \(\infty^4\) L.-E. enthält), heisst ein “Plücker’scher Liniencomplex”; ein solcher ist demnach in allgemeinster Weise durch eine Monge’sche Gleichung vom Typus (15) definirt. Man kann so die Auffassung Lie’s gerechtfertigt finden, nach der sich die Plücker’sche Liniengeometrie der Theorie der Monge’schen Gleichungen unterordnet.
Hier erweist sich bereits die Einführung des Begriffes “Flächenelement” (kürzer “F.-E.”), d. i. des Inbegriffs eines Punktes und einer durch ihn gehenden Ebene, als fruchtbar. Dann bestimmt offenbar eine (nicht lineare) Monge’sche Gleichung (14) \(\infty^4\) F.-E., und zwar so, dass sie jedem Raumpunkte die \(\infty^1\) F.-E. zuordnet, die den Elementarkegel des Punktes umhüllen.
Mit Hülfe dieser Auffassung gelingt die Lösung des wichtigen Integrationsproblems, bei vorgelegter Monge’scher Gleichung (14) alle Flächen zu bestimmen, die in allen ihren Punkten die den Punkten zugeordneten Elementarkegel berühren; die gemeinten Flächen ergeben sich durch Integration einer gewissen partiellen Differentialgleichung erster Ordnung in z: (16) \(F\left( x, y, z, \frac {\partial z}{\partial x}, \;\frac {\partial z}{\partial y}\right)= 0\).
Andererseits wird jede Integralfläche von (14) von \(\infty^1\) Curven, den Monge’schen “Charakteristiken” überdeckt, so dass in jedem Punkte der Fläche der zugehörige Elementarkegel längs der betreffenden Curve berührt.
Im Anschluss hieran haben die Verf. ein grösseres Kapitel über die Grundlagen der Plücker’schen Liniengeometrie und ihrer Beziehungen zu Differentialgleichungen eingeschaltet, sowie einen sehr dankenswerten historischen Bericht über ältere Untersuchungen über Geradenscharen im Raume, wobei die Verdiente von Malus mehr, als es sonst geschieht, gewürdigt werden.
Wie fruchtbar die Auffassungen der Verf. sind, zeigt ein specielles, aber sehr lesenswertes Kapitel über den tetraedralen Complex, d. i. die Schar der ein festes Tetraeder nach constantem Doppelverhältnis schneidenden Geraden. Eine bemerkenswerte Rolle spielt dabei die “logarithmische” Abbildung des Raumes.
Die \(\infty^1\) Monge’schen Gleichungen der zum Coordinatentetraeder gehörigen \(\infty^1\) tetraedralen Complexe lassen sich in die Form bringen: \[ (\text{17}) \quad (b- c)\;\frac {dy}y\;\frac {dz} z + (c- a)\;\frac {dz} z\;\frac {dx} x + (a- b)\;\frac {dx} x\;\frac {dy} y = 0. \] Vermöge der neuen Veränderlichen: (18) \(\xi= lx\), \(\eta = ly\), \(\zeta= lz\) nimmt (17) die wesentlich einfachere Gestalt an: (19) \((b-c)d\eta d\zeta + (c- a)d\zeta d\xi + (a- b)d\xi d\eta = 0\), und es gehen die \(\infty^4\) L.-E., die (17) genügen, über in die \(\infty^4\) L.-E., die (19) befriedigen.
Den Schluss dieser Entwickelungen bildet die Behandlung einiger schöner Probleme der Liniengeometrie, die auf partielle Differentialgleichungen zweiter Ordnung führen.
Das letzte Kapitel des zweiten Abschnitts, über Beziehungen zwischen Geraden und Kugeln, beansprucht eine besondere Bedeutung für sich, nicht nur inhaltlich, sondern auch historisch, da diese Untersuchungen Lie’s wohl als erste die Aufmerksamkeit der Geometer erregten. Auf der einen Seite stehen die conformen Punkttransformationen des Raumes in engem Connex mit der Geometrie der Kreise in einer Ebene, insofern den ersteren diejenigen B.-T. der Ebenen zugeordnet werden können, die jeden Kreis in einen Kreis überführen; auf der anderen Seite kann man den F.-E. einer Geraden die einer Kugel correspondiren lassen, wobei den Haupttangentencurven einer Fläche des einen Raumes die Krümmungslinien der zugeordneten Fläche des anderen Raumes entsprechen.
Zunächst werden alle \((\infty^6)\) Punkttransformationen der Ebene bestimmt, die jeden Kreis in einen Kreis überführen und dadurch von selbst conform sind. Ihre analytische Darstellung ist bekanntlich gegeben durch: (20) \(w_1= \frac {Aw+ B}{Cw+ D}\), wo \(w_1\), \(w\) complexe Variablen, \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) complexe Constanten bedeuten.
Hierauf wird die Gesamtheit aller \((\infty^{10})\) conformen Punkttransformationen des Raumes bestimmt; eine solche führt stets jede Kugel in eine Kugel über, hängt also nur von einer endlichen Anzahl von Parametern ab (während sie in der Ebene noch von zwei willkürlichen Functionen abhängt). Dem entspricht, dass die conformen Punkttransformationen des Raumes eine endliche Gruppe bilden, die der Ebene eine unendliche. Die Bestimmung der conformen Raumtransformationen beruht nach Liouville auf ihrer Eigenschaft, aus Aehnlichkeitstransformationen und Inversionen zusammensetzbar zu sein. Eine fruchtbare Abbildung des Raumes auf die Ebene, die von den Geometern vielfach studirt ist, erhält man durch: (21) \(x= X\), \(y= Y\), \(r= iZ\), wodurch dem Raumpunkte \((X, Y, Z)\) der Kreis in der Ebene \(Z = 0\) mit dem Mittelpunkte \((x, y)\) und dem Radius \(r\) zugeordnet wird. Da bei einer conformen Punkttransformation im Raume jede Minimalcurve, d. i. jede Integralcurve der Gleichung \(dX^2 + dY^2 + dZ^2 = 0\), in eine Minimalcurve übergeht, und nach (21) das ebene Bild einer Minimalgeraden ein L.-E. ist, so entspricht in der That vermöge (21) jeder conformen Punkttransformation des Raumes eine solche B.-T. der Ebene, die jeden Kreis in einen Kreis überführt und umgekehrt. Um die Beziehung zwischen den Geraden und Kugeln des Raumes zu verstehen, haben wir aus der Theorie der Pfaff’schen Gleichungen nachzuholen, dass die L.-E. eines allgemeinen Nullsystems dargestellt werden können durch die Relation (22) \(xdy - ydx + dz \equiv d(z + xy) - 2ydx = 0\). Vermöge der quadratischen Transformation (23) \(\xi = x\), \(\eta = z + xy\), \(\pi = 2y\) nimmt (22) die wohlbekannte specielle Form \((5')\) an: (24) \(d\eta - \pi d\xi = 0\); zugleich wird durch (23) eine ein-eindeutige Beziehung zwischen den Punkten \((x, y, z)\) des Raumes und den L.-E. \((\xi, \eta, \pi)\) der Ebene hergestellt, wobei den \(\infty^3\) Nullgeraden des Raumes, i. e. den Geraden des linearen Complexes (22), die \(\infty^3\) Parabeln \(\eta = a + b\xi + c\xi^2\), i. e. die Integralcurven der Differentialgleichung \(d^3\eta/d\xi^3 = 0\), entsprechen.
Verbindet man die Abbildungen (23) und (21) mit einander, so wird jeder Raumpunkt \((x, y, z)\) durch (23) in ein L.-E. \((\xi, \eta, \pi)\) der \((\xi, \eta)\)-Ebene abgebildet, und dieser ist durch (21) das Bild einer Minimalgeraden des Raumes \((X, Y, Z)\), mithin wird jedem Raumpunmkte \((x, y, z)\) eine Minimalgerade des Raumes \((X, Y, Z)\) zugeordnet; nach Ausführung der erforderlichen Elimination gelangt man zu den beiden Darstellungsgleichungen: (25) \(X + iY + xZ + z = 0\), \(x(X - iY) - Z - y = 0\). Umgekehrt entspricht so einem Punkte \((X, Y, Z)\) eine Gerade des linearen Complexes (22) im Raume \((x, y, z)\). Zusammenfassend kann man sagen, dass vermöge (25) eine ein-eindeutige Zuordnung zwischen den L.-E. der Pfaff’schen Gleichung (22) und den L.-E. der Monge’schen Gleichung (26) \(dX^2 + dY^2 + dZ^2 = 0\) hergestellt ist.
Der lineare Complex (22) ordnet aber auch jedem F.-E. ein anderes “reciprokes” zu: man hat nur zu dem Punkte und der Ebene der F.-E. die Nullebene und den Nullpunkt aufzusuchen. Daher fliesst aus (25) auch eine ein-zweideutige Zuordnung von Flächen der Räume \((x, y, z)\) und \((X, Y, Z)\). Sind nämlich \(\omega_1\), \(\omega_2\) zwei vermöge (22) reciproke Flächen, so bilden sich die beiden Scharen von Curven des linearen Complexes, die auf \(\omega_1\) und \(\omega_2\) liegen, als die beiden auf einer Fläche \(\varOmega\) gelegenen Scharen von Minimalcurven ab.
Der wichtigste Specialfall ist der oben schon erwähnte: den F.-E. einer Kugel, i. e. einer Fläche zweiten Grades mit zwei getrennten Scharen von Minimalgeraden, correspondiren vermöge (22) reciproke Polaren sind. Leider müssen wir es uns versagen, auf diese höchst interessante Abbildung noch näher einzugehen.
Vielmehr müssen wir uns beeilen, zu dem dritten und letzten Abschnitt zu kommen, der in die Theorie der F.-E. und die auf das Engste damit verknüpfte Theorie der partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung einführen will.
Man wird \(x, y, z\), \(p= \frac {\partial z}{\partial x}\,\), \(q= \frac {\partial z}{\partial y}\) als die “Coordinaten” eines F.-E. bezeichnen: alle F.-E. bilden eine \(\infty^5\)-Schar.
Eine partielle Differentialgleichung (27) \(F(x, y, z, p, q)= 0\) erster Ordnung, die aber im besonderen auch \(p, q\) nicht enthalten kann und dann zur Gleichung einer Fläche \(F(x, y, z) = 0\) wird, scheiden \(\infty^4\) F.-E. aus.
Das erste Kapitel entwickelt die Theorie der Gleichungen (27) nach Lagrange und bringt deren geometrische Deutung nach Monge, die aber hier durch consequente Benutzung des Begriffes F.-E. einfacher und übersichtlicher wird.
Die Integration von (27) verlangt die Bestimmung aller Flächen, deren F.-E. die Gleichung (27) erfüllen, oder genauer: die durch (27) gegebenen \(\infty^4\) F.-E. sollen in \(\infty^2\) Scharen von je \(\infty^2\) Elementen so zerlegt werden, dass jede dieser \(\infty^2\) Scharen aus allen F.-E. einer Fläche besteht. Die Gleichung dieser \(\infty^2\) Flächen: (28) \(z= \varPhi(x, y; a, b)\) heisst eine “vollständige Lösung” von (27); sie führt umgekehrt zu (27) zurück.
Ist nun \(z = \varphi(x, y)\) irgend eine Lösung von (27), so sind drei Fälle denkbar: Erstens, die Fläche \(z = \varphi\) hat alle ihre \(\infty^2\) F.-E. mit einer unter den Flächen \(z = \varPhi\) gemein, dann ist die Lösung \(\varphi\) in der vollständigen Lösung \(\varPhi\) als “Particularlösung” enthalten. Zweitens, die Fläche \(z = \varphi\) hat je \(\infty^1\) F.-E. mit jeder Fläche von gewissen \(\infty^1\) Flächen (28) gemein, ist also deren Umhüllende. Man wählt dann aus der \(\infty^2\) Schar (28) dadurch beliebige \(\infty^1\) aus, dass man eine willkürliche Gleichung \(\omega(a, b) = 0\) festgesetzt, das liefert die “allgemeine” Lösung von (27). Drittens, die Fläche \(z = \varphi\) hat mit jeder Fläche \(z = \varPhi\) nur eine discrete Anzahl von F.-E. gemein, ist also die Umhüllende der \(\infty^2\) Flächen (28) und heisst eine “singuläre Lösung” von (27).
Die Lösungen des zweiten und dritten Falles ergeben sich aus (28) durch Differentiation und Elimination.
Jede analytische Gleichung (27) besitzt in der That, wie nach Cauchy gezeigt wird, immer eine vollständige Lösung (28). Die allgemeine Lösung von (27) ergiebt sich durch Elimination von \(a\) aus: \[ (29)\quad z = \varPhi\, \quad \frac {\partial \varPhi}{\partial a} + \frac {\partial \varPhi}{\partial b}\;b'(a) = 0, \] wo \(b(a)\) die durch \(\omega(a, b) = 0\) involvirte willkürliche Function von \(a\) bedeutet.
Erteilt man dagegen \(a\) in (29) einen constanten Wert \(a_0\), so stellt (29) eine “Charakteristik” von (27) dar, d. i. die Curve, nach der die allgemeine Integralfläche von der Fläche \(z = \varPhi(x, y, a_0, \varphi (a_0))\) berührt wird. Offenbar liefert (29) alle Charakteristiken, sobald man darin \(a, b(a)\), \(b'(a)\) als drei willkürliche Parameter auffasst. Somit hat (27) höchsten \(\infty^3\) Charakteristiken; eine genauere Untersuchung zeigt, dass es gerade \(\infty^3\) sind.
Die \(\infty^3\) Charakteristiken enthalten \(\infty^4\) L.-E., die eine Monge’sche Gleichung \(\varOmega = 0\) (14) definiren, deren Integralcurven sie sind; sie ordnet jedem Punkte einen Elementarkegel zu, der identisch sein muss mit dem durch (27) zugeordneten.
Man erkennt, dass das gerade der Umkehrung eine nähere Betrachtung ist.
Die \(\infty^3\) Charakteristiken lassen sich auch durch ein System von vier simultanen gewöhnlichen Differentialgleichungen definiren; nach Kenntnis der Charakteristiken kann man die durch eine beliebige gegebene Curve gehende Integralfläche construiren. Nach dieser mehr historisch gehaltenen Einleitung, bei der das F.-E. nur zur Vereinfachung der Sprechweise dient, gehen die Verf. dazu über, nunmehr systematisch der schon oben angedeuteten Auffassung Geltung zu verschaffen, nach der die Theorie der partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung geradezu als Teil der Geometrie der F.-E. erscheint.
Der alles beherrschende Begriff ist wiederum, wie in der Ebene, der eines “Vereines” von F.-E. Das Bindeglied ist der Begriff der “vereinigten Lage” zweier F.-E.: ein F.-E. \((x, y, z, p, q)\) liegt mit einem unendlich benachbarten \((x + dx\), etc.) “vereinigt”, wenn die Pfaff’sche Gleichung (30) \(dz - pdx - qdy = 0\) besteht. Eine Schar von F.-E. bildet dann einen “Verein”, wenn jedes Element der Schar mit allen unendlich benachbarten Elementen der Schar vereinigt liegt.
Die Fruchtbarkeit dieses Begriffes des Elementvereines liegt darin, dass er nicht nur die Begriffe Fläche, Curve, Punkt, sondern auch die des Elementarkegels und des sogenannten “Elementstreifens” (dessen \(\infty^1\) F.-E. längs einer Curve liegen) umfasst. Dort besteht der Verein aus \(\infty^2\), hier aus \(\infty^1\) Elementen. Das allgemeine Problem der Integration einer analytischen Gleichung (27) lässt sich dann einfach dahin formuliren, alle Elementvereine (“Integralgebilde”) in der durch (27) definirten \(\infty^4\) Schar von F.-E. zu finden; hierdurch lassen sich alle früheren Integrationstheorien zusammenfassen, und die Schwierigkeiten der “Ausnahmefälle” verschwinden von selbst. Die “vollständige Lösung von (27) ist jetzt, allgemeiner als bei Lagrange, eine Schar von \(\infty^2\) verschiedenen Vereinen von je \(\infty^2\) F.-E., die (27) genügen: ist keine solche bekannt, so gelangt man zu allen, (27) erfüllenden Vereinen von \(\infty^2\) F.-E. durch Differentiationen und Eliminationen; diese beiden Operationen genügen schon zur Auffindung aller Vereine von \(\infty^1\) F.-E., die (27) zulässt.
Die Monge’sche Charakteristik erweitert sich zum “charakteristischen Streifen”. Man deute nämlich die Parameter \(a, b\) als Coordinaten des Punktes \((a, b)\) einer Hülfsebene, in der also eine Gleichung \(\omega(a, b) = 0\) eine Curve darstellt. Dann zeigt eine einfache Rechnung, dass zwei sich in einem Punkte \((a, b)\) berührenden Curven \(\omega_1(a, b) = 0\) \(\omega_2(a, b) = 0\) im Raume zwei allgemeine Integralflächen von (27) entsprechen, die sich längs einer Curve, nämlich der Charakteristik (29), berühren, d. h. sie haben einen Elementstreifen gemein, und dies ist der “charakteristische Streifen”, der sich also auf die \((a, b)\)-Ebene als L.-E. abbildet. Umgekehrt wird jede allgemeine Integralfläche von (27) von \(\infty^1\) charakteristischen Streifen erzeugt.
Jede Gleichung (27) hat \(\infty^3\) charakteristischen Streifen.
Die eben besprochene Abbildung der Integralflächen auf eine \((a, b)\)-Ebene wird combinirt mit einer zweiten solchen, die dadurch hergestellt wird, dass man den ganzen Raum durch eine allgemein, aber bestimmt gewählte \((\xi,\eta)\)-Ebene schneidet. Die Zuordnung zwischen beiden Ebenen ist dann eine B.-T.
Diese Entwickelungen werden durch zweckmässige Deutung der sogenannten “Involutionsbeziehung” nach verschiedenen Richtungen hin vervollständigt und zu älteren Untersuchungen in Beziehung gesetzt.
Der Schluss des Buches vermittelt den Uebergang zum zweiten Bande. Es werden die Vorteile erörtert, die die Kenntnis einer oder mehrerer infinitesimaler Punkttransformationen, die eine partielle Differentialgleichung erster Ordnung gestattet, für ihre Integration gewährt. Die Verf. beschränken sich jedoch im wesentlichen auf zweckmässig ausgewählte einzelne Fälle (Translationen, Rotationen, eine und zwei infinitesimale Punkttransformationen). Im demselben Sinne werden einige in der Geometrie auftretende partielle Differentialgleichungen von besonderem Interesse untersucht. Es handelt sich der Reihe nach um die Bestimmung der Gleichungen (27), deren Charakteristiken auf allen Integralflächen entweder Haupttangentencurven, oder Krümmungslinien, oder geodätische Linien, oder Gerade sind; ferner die, deren Integralflächen zu Normalen lauter Gerade eines gegebenen Liniencomplexes haben, sowie die, deren Integralflächen \(\infty^1\) geodätische Curven enthalten, die einem vorgelegten Liniencompex angehören. Diese sechs Probleme werden, mit Ausnahme des dritten, vollständig und hauptsächlich mit geometrischen Mitteln gelöst.
Wir begnügen uns, im obigen dem Leser wenigstens eine annähernde Vorstellung von dem bedeutsamen Inhalt des Buches gegeben und dadurch zu tieferem Studium Anregung verschafft zu haben, und verzichten lieber auf eine Kritik, die sich doch nur gegen Einzelheiten richten könnte. Man vgl. die Besprechung von Study, Gött. Anz. 436-445, 1897.