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Sui gruppi continui di trasformazioni Cremoniane del piano e sopra certi gruppi di trasformazioni projettive. (Italian) JFM 27.0561.02

Schon in der vorigen Arbeit (JFM 27.0561.01) hatte der Verf. angekündigt, dass die Aufgabe, alle continuirlichen Gruppen von Cremona’schen Transformationen eines beliebigen Raumes \(R_k\) auf Typen zurückzuführen, gelöst werden kann, sobald man alle Mannigfaltigkeiten \(M_k\) eines \(R_i\) \((i \geqq k)\) bestimmt hat, die continuirliche projective Gruppen gestatten. Jetzt führt er dies für die Ebene aus und gewinnt so die Enriques’schen Sätze über Gruppen von Cremona’schen Transformationen wieder. Er zeigt zunächst, dass zu jeder \(k\)-gliedrigen Gruppe von Cremona’schen Transformationen der Ebene auf unendlich viele Weisen eine rationale Fläche in einem höheren Raume construirt werden kann, die eine \(k\)-gliedrige projective Gruppe dieses Raumes gestattet, und zwar derart, dass, wenn man die Ebene in geeigneter Weise birational auf diese Fläche bezieht, die eine Gruppe der anderen entspricht. Gestützt auf die Ergebnisse der vorigen Arbeit, kann der Verf. jetzt leicht die Enriques’schen Typen von Gruppen Cremona’scher Transformationen der Ebene wiederfinden. Der grösste Teil der Arbeit (S. 26-29) beschäftigt sich damit, gewisse Ungenauigkeiten zu beseitigen, die in der Note des Verf. Sulle superficie algebriche con infinite trasformazioni projettive in sè (Rom. Acc. L. Rend (5) 4, 149-156; F. d. M. 26, 727, 1895, JFM 26.0727.03) enthalten sind. Es handelt sich dabei erstens darum, dass eine projective Transformation durch die bei ihr invarianten Punkte, Gerade u. s. w. und durch ein Paar entsprechender Punkte noch nicht vollständig bestimmt zu sein braucht, wenn einzelne der invarianten Punkte zusammenfallen. Zweitens handelt es sich um den Beweis des Satzes, dass jede algebraische Fläche, die bei einer projectiven Gruppe invariant bleibt und transitiv transformirt wird, rational ist.
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