×

zbMATH — the first resource for mathematics

Recherches analytiques sur un cas de rotation d’un solide pesant autour d’un point fixe. (French) JFM 27.0620.02
Der Fall der Bewegung eines starren Körpers um einen festen Punkt, welcher in dieser umfangreichen Arbeit einer gründlichen analytischen Behandlung unterworfen wird, ist zuerst von Hess untersucht worden (Math. Ann. 37, vergl. F. d. M. 22, 920, 1890, JFM 22.0920.01). Sind nämlich \(x_0, y_0, z_0\) die Coordinaten des Schwerpunktes des rotirenden Körpers, \(A, B, C\) die Trägheitsmomente in Bezug auf die Hauptträgheitsaxen durch den festen Punkt, so werden folgende Anfangsbedingungen über die Constanten angenommen: \[ y_0 = 0, \quad A(B - C)x_0^2 = C(A - B)z_0^2 \quad (A > B > C)\,. \] Dann besteht ausser den drei bekannten algebraischen Integralen des Problems noch ein viertes, von Hess bereits angegebenes: \[ (4) \quad Ax_0p + Cz_0r = 0 \] . Nekrassoff zeigt, dass Frau von Kowalevsky diesen Fall nach ihren Methoden ebenfalls hätte finden müssen und ihn nur aus Unachtsamkeit übersehen hat, wie dies zuerst von Appelroth in der Moskauer Math. Samml. 16 (F. d. M. 24, 888, 1892, JFM 24.0888.01; JFM 24.0888.02) dargelegt worden ist. Der besondere Charakter dieses Falles bewirkt nicht, dass die Bewegung einen geringeren Grad von Allgemeinheit besitzt als die von Euler, Lagrange und S. Kowalevsky untersuchten lösbaren Fälle der Bewegungsgleichungen des Problems der Rotation eines starren Körpers um einen festen Punkt, da die Anzahl der zur Verfügung stehenden Constanten ebenso gross ist wie in jenen Fällen. In der Hess’schen Arbeit nun sind viele Eigenschaften der Bewegung dieses Falles unaufgeklärt geblieben. Der Verf. ist dazu gelangt, die Integration der complicirten Gleichung dieses Problems auf diejenige einer linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung mit eindeutigen, doppelt periodischen complexen Coefficienten zurückzuführen. Durch dieses Mittel verbreitet sich ein solches Licht über die Aufgabe, dass es möglich wird, das Bild der Rotation ziemlich vollständig zu entwerfen und die Rechnungen auf immer convergente Reihen zu beschränken, welche eine dem Probleme angemessene Einfachheit besitzen. Damit tritt dieser Fall der Rotation in die Reihe derjenigen ein, welche überhaupt genauer erkannt worden sind.
Unter dem rein mathematischen Gesichtspunkten bietet der hier untersuchte Fall verschiedenartige Besonderheiten.
Diesen Besonderheiten ist der Vorteil des Gebrauchs der comnplexen Grössen zuzuschreiben, deren geometrische Eigenschaften bei der Erforschung dieses Falles hervortreten, besonders bei ihrer Verknüpfung mit der sogenannten linearen Transformation, welche die Geraden und Kreise in Kreise verwandelt unter Wahrung der Aehnlichkeit in den unendlich kleinen Teilen. Die andere Besonderheit besteht darin, dass das problem hier nicht auf eindeutige Functionen der zeit gebracht wird, wie in den früher gelösten Fällen, sondern auf vieldeutige Functionen.
Der Verf. betont in der Einleitung, dass er seine eigenen Untersuchungen in der Abhandlung zur Darstellung bringt, dass er jedoch die in neuerer Zeit erschienenen russischen Arbeiten über den Gegenstand an geeigneter Stelle anführt.

MSC:
70E17 Motion of a rigid body with a fixed point
PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI Link EuDML
References:
[1] Nous citons ici le tableau de ces articles russes. Mr. P. A. Nekrassoff: 1) ?Au sujet du problème de la rotation d’un solide pesant autour d’un point fixe?. (Recueil de mathématiques, t. XVI, 3ème livraison, 1892, Moscou). 2) ?De la rotation d’un solide pesant autour d’un point fixe? (Mémoires de la section physique de la société Impériale des Amis des sciences naturelles, t. V, 1893, Moscou). 3) ?Complément de l’article concernant la rotation d’un solide pesant autour d’un point fixe?. (Mémoires de la section physique de la société Impériale des Amis des sciences naturelles, t. VI, 1893, Moscou). 4) ?Recherches analytiques sur un cas de rotation d’un solide pesant autour d’un point fixe?. (Recueil de mathématiques, t. XVIII, 1895, Moscou).
[2] Mr. N. E. Joukovsky: ?Pendule loxodromique de Mr. Hess? (Mémoires de la section physique de la société Impériale des Amis des sciences naturelles, t. V, 1893, Moscou). Cet article est imprimé encore dans ?Jahresbericht der deutschen Mathematiker-Vereinigung? (III. 1893, p. 62-70).
[3] Mr. B. C. Mlodzeievsky et Mr. P. A. Nekrassoff: ?Des conditions de l’existence des mouvements asymptotiques périodiques dans le problème de Hess? (Mémoires de la section physique de la société impériale des Amis des sciences naturelles, t. VI, 1893, Moscou).
[4] Mr. J. A. Tchapliguin: ?Au sujet du pendule loxodromique de Mr. Hess? (Mèmoires de la section physique de la société Impériale des Amis des sciences naturelles, t. VII, 1894, Moscou).
[5] Voir Floquet, “Sur les équations différentielles linéaires à coefficíents périodiques{” (Annales de l’Ecole normale supérieure, t. 13. 1883).}
[6] Halphen, t. I, p. 137.
This reference list is based on information provided by the publisher or from digital mathematics libraries. Its items are heuristically matched to zbMATH identifiers and may contain data conversion errors. It attempts to reflect the references listed in the original paper as accurately as possible without claiming the completeness or perfect precision of the matching.