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Lezioni di geometria intrinseca. (Italian) JFM 27.0815.01
Napoli. Presso l’autore-editore: Via Sapienza 29. 264 S. gr. \(8^\circ\) (1896).
Bekanntlich hat Cesàro durch eine lange Reihe von Arbeiten, welche in den Nouv. Ann., in Mathesis und in Peano’s Rivista abgedruckt sind, bewiesen, dass man alle Haupteigenschaften einer ebenen Curve ermitteln kann, wenn diese durch eine Gleichung zwischen dem Bogen \(s\) und dem Krümmungsradius \(\varrho\) dargestellt ist. Dadurch hat er eine Lücke der ebenen Differentialgeometrie ausgefüllt und den Wert der “Geometria intrinseca” der Ebene ausser Frage gestellt. Eine methodische Darstellung aller vorangehenden getrennten Untersuchungen ist einer der Zwecke des vorliegenden Werkes. Die zwei ersten Kapitel desselben enthalten eine eingehende Discussion einer Plancurve, welche durch eine Gleichung zwischen \(\varrho\) und \(s\) dargestellt ist; die zur Anwendung kommenden kinematischen Betrachtungen sind denjenigen ähnlich, deren Gebrauch Darboux in der Einleitung seiner Leçons sur la théorie des surfaces gelehrt hat. Wie diese Methoden auf besondere Curven (Kegelschnitte, Cassini’sche Ovale, Ribaucour’sche Curve, sinusoidische Spiralen u. s. w.) angewandt werden können, wird im dritten Kapitel auseinandergesetzt; wie dieselben in der Lehre von der Berührung, der Osculation und den Rouletten gute Dienste leisten können, ersieht man aus den bezüglichen Kapiteln III, IV und V. Nach einer beachtenswerten Vorlesung über die Schwerpunkte und einer über die barycentrischen Coordinaten in der Ebene, beschäftigt sich der Verf. mit den Systemen ebener Curven, um sich einiges Material zu verschaffen, das in späteren Betrachtungen Anwendung findet, und um einige Formeln zu begründen, welche nachher verallgemeinert werden sollen. Neu und schön ist die Betrachtung des Plancurvensystems, welches durch die Schwerpunkte der \(\infty^2\) Bogen einer gegebenen Curve erzeugt wird.
Wie die Grundbegriffe der ebenen “Geometria intrinseca” auf die Raumcurven ausgedehnt werden können, wird im neunten Kapitel gelehrt, zu welchem das folgende (besonderen Raumcurven gewidmete) eine notwendige Ergänzung bildet. Wie dieselben Begriffe selbst auf Oberflächen angewandt werden können, ersieht man aus den drei folgenden Kapiteln, deren Ueberschriften der Reihe nach sind: Allgemeine Theorie der Oberflächen; Aufgaben über die Oberflächen; unendlichkleine Umformungen der Oberfläche. Als einen Anhang dazu kann man das unmittelbar folgende Kapitel betrachten, welches von den Strahlensystemen handelt. Eine grössere Neuheit bieten die drei letzten Kapitel, welche die Theorie der dreifach-orthogonalen Flächensysteme, die Curven der höheren Räume und die höheren Räume im allgemeinen behandeln. Hier geht der Verf. sehr schnell in seiner Auseinandersetzung vor, etwas zu schnell: so scheinen einige Verallgemeinerungen nicht vollkommen begründet. Das Werk schliesst mit drei Noten über die Anwendungen der Grassmann’schen Zahlen, über das Gleichgewicht der biegsamen und unausdehnbaren Fäden und über die Elasticitäts-Gleichungen der höheren Räume.
Wir schliessen dieses Referat in der Ueberzeugung, keine präcise Darstellung der hübschen und wichtigen Arbeit Cesàro’s geliefert zu haben: aber wie kann man die unübertreffliche Eleganz der Rechnungen und die wunderbare Genialität der Betrachtungen des Verf. beschreiben, ohne das Werk selbst zu übersetzen? Mögen mindestens unsere Worte neue Leser des Werkes anlocken, für den Verf. neue Bewunderer heranziehen.

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