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The decomposition of modular systems of rank \(n\) in \(n\) variables. (English) JFM 28.0087.03
Die Abhandlung zerfällt in zwei Teile, an deren Spitze je ein allgemeines Theorem gestellt wird. Auf den Kronecker’schen ,,Grundzügen einer arithmetischen Theorie der algebraischen Grössen” beruhend, stellt die Arbeit die folgende ,,Verfeinerung” des Begriffes Rationalitäts - Bereich auf: Ein ,,Integritäts - Rationalitäts - Bereich” \(\mathfrak R = [\mathfrak R_1,\,\mathfrak R_2,\,\dots,\,\mathfrak R_{\mu}]\;(\mathfrak R_{\mu+1},\,\dots,\,\mathfrak R_{\mu+\nu})\) besteht aus allen Functionen \(F[\mathfrak R_1,\,\mathfrak R_2,\,\dots,\,\mathfrak R_{\mu}]\) \((\mathfrak R_{\mu+1},\,\dots,\,\mathfrak R_{\mu+\nu})\), die ganz in \(\mathfrak R_1,\,\dots,\,\mathfrak R_{\mu}\) und rational in \(\mathfrak R_{\mu+1},\,\dots,\,\mathfrak R_{\mu+\nu}\) sind bei ganzen Coefficienten. Der Bereich wird abgeschlossen unter Addition, Subtraction und Multiplication, ferner unter Division jeder nicht verschwindenden Function von \(\mathfrak R'= (\mathfrak R_{\mu+1},\,\dots,\,\mathfrak R_{\mu+\nu})\). Die beiden erwähnten allgemeinen Sätze beziehen sich auf derartige Bereiche. Mit Hülfe derselben wird die im Titel angegebene Zerlegung durch einen rein arithmetischen Process für ein allgemeines \(n\) bewirkt, sowohl wenn die Discriminante verschwindet, als auch wenn sie nicht verschwindet. Molk’s Verfahren (Acta Math. 6, 1-166; F. d. M. 17, 56, 1885, JFM 17.0056.01) beruht auf einem algebraischen Beweise, der als ,,höchst verwickelt” vom Verf. bezeichnet wird.

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