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On an arithmetic function. (Ueber eine zahlentheoretische Function.) (German) JFM 28.0177.01

Es handelt sich hier um die Function \(\sigma(n)=\mu(1)+\mu(2)+\cdots+\mu(n)\), wo \(\mu(1)=1\), \(\mu(m)=0\), falls \(m\) durch das Quadrat einer Primzahl \(>1\) teilbar ist, und \(\mu(m)=(-1)^\nu\) ist, falls \(m\) das Product von \(\nu\,(\geqq1)\) verschiedenen Primzahlen ist. Verf. teilt eine Tabelle für \(\sigma(n)\) von \(n=1\) bis \(n=10000\) mit, aus welcher \(|\sigma(n)|<\sqrt n\) für alle \(n>1\) hervorgeht; doch hat das hierin liegende Gesetz noch nicht allgemein bewiesen werden können. Bei Aufstellung der Tabelle machte Verf. von den Formeln \[ \mu(1)E(n)+\mu(2)E(n/2)+\cdots+\mu(g)E(n/g)+\sigma(n/1)+ \sigma(n/2)+\cdots+\sigma(n/g)-g\sigma(g)=1\,, \]
\[ \sigma(n)=2\sigma(g)-\sum_{r,\,s}\mu(r)\mu(s)E(n/rs) \]
\[ (r,\,s=1,2,\dots,g) \] Gebrauch, in denen \(g=E(\sqrt n)\) ist und für \(\sigma(E(n/k))\) kurz \(\sigma(n/k)\) geschrieben ist. Andererseits dienen dem Verf. die Entwickelungen über \(\sigma(n)\), um zu Angaben über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grenze zu gelangen. Er macht hierbei Gebrauch von der Function \(\theta(x)=\sum\nu\log p\), summirt über alle Primzahlen \(p\leqq x\), wo \(\nu\) als grösster ganzzahliger Exponent so zu bestimmen ist, dass \(p^\nu\leqq x\) ist. Diese Function hängt mit \(\mu(k)\) zusammen durch: \[ \theta(n)=-\sum_{k=1}^n\mu(k)E(n/k)\log k. \] Andererseits wird zur weiteren Erforschung von \(\theta(n)\) noch die zahlentheoretische Function: \[ L(s)=-\sum_{k=1}^s\mu(k)\frac{\log k}k \] herangezogen, für welche der Verf. bei wachsendem Argumente \(s=n\) den asymptotischen Wert 1 bis auf Grössen der Ordnung \(n^{-\frac14}\log n\) findet. Der Zusammenhang zwischen \(L\) und \(\theta\), welchen der Verf. ausführlich erörtert, gestattet (unter Voraussetzung der Gültigkeit von \(|\sigma(m)|<\sqrt m\) für \(\theta\) die asymptotische Darstellung \(\theta(n)=n+\Delta\), wo \(\Delta\) von der Ordnung \(n^{\frac34}\log n\) ist. Der Zusammenhang mit der Anzahl aller Primzahlen \(\leqq n\) wird alsdann durch die Function: \[ \chi(n)=\frac{\theta(2)-\theta(1)}{\log2} + \frac{\theta(3)-\theta(2)}{\log3} + \cdots + \frac{\theta(n)-\theta(n-1)}{\log n} \] gewonnen, für welche sich die asymptotische Darstellung \[ \chi(n)=\int_2^n\frac{dx}{\log x}+\delta \] mit \(\delta\) von der Ordnung \(n^{\frac34}\) ergiebt; \(\chi(n)\) liefert geradezu bis auf Grössen der Ordnung \(n^{\frac34}\) die Anzahl aller Primzahlen \(\leqq n\).
Mit Riemann’s Function \(\zeta(z)\) hängt \(\mu(k)\) in der Art zusammen, dass für alle Werte \(z\) mit einem reellen Bestandteil \(>1\) \[ f(z)=\frac{\mu(1)}{1^z}+\frac{\mu(2)}{2^z}+\frac{\mu(3)}{3^z}+\cdots \] den reciproken Wert von \(\zeta(z)\) liefert. Die über das Verschwinden von \(\zeta(z)\) hier gezogenen Schlüsse basiren dann wieder auf der leider noch unbewiesenen Voraussetzung \(|\sigma(m)|<\sqrt m\).

MSC:

11A25 Arithmetic functions; related numbers; inversion formulas

Keywords:

Mobius function
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