Proof of the equation \(\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{\mu(k)}k =0\). (Beweis der Gleichung \(\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{\mu(k)}k =0\).) (German) JFM 28.0180.01

von Mangoldt, H.

Berl. Ber. 1897, 835-852 (1897).

Für ganze Zahlen \(k>0\) soll die Function \(\mu(k)\) durch folgende Festsetzungen definirt sein: \(\mu(1)=1\), \(\mu(k)=(-1)^n\), falls \(k\) das Product von \(n\) verschiedenen Primzahlen \(>1\) ist, sonst \(\mu(k)=0\). Euler behauptet (ohne strengen Beweis), dass die unendliche Reihe \(\frac{\mu(1)}1+\frac{\mu(2)}2+\frac{\mu(3)}3+\cdots\) den Summenwert 0 habe. Der Verf. führt den Beweis dieser Behauptung auf Grund seiner eigenen, sowie von Hadamard’s und de la Vallée-Poussin’s Untersuchungen über die Riemann’sche Function \(\zeta(s)\). Die wesentliche Grundlage des Beweises ist die Formel: \[ \lim_{n=\infty}\left\{\frac1{\log n} \sum_{k=1}^n\frac{\log k}k \sum_{\lambda=1}^k\frac{\mu(\lambda)}{\lambda}\right\}=0.\tag{1} \] Der Verf. gelangt zu dieser Formel durch eine umständliche Rechnung, welche sich einmal auf den beiden für jedes endliche \(n\) gültigen ,,Hülfssätzen” \[ -1\leqq\sum_{k=1}^n\frac{\mu(k)}k\leqq+1,\tag{2} \]
\[ -(3+C)\leqq\log n\sum_{k=1}^n\frac{\mu(k)}k - \sum_{k=1}^n\frac{\mu(k)\log k}k\leqq3+C,\tag{3} \] unter \(C\) die Euler’sche Constante verstanden, aufbaut, andererseits aber einen wesentlichen Gebrauch von der Function \(\Lambda(x,r)\) und ihrer analytischen Darstellung macht, welche der Verf. bei seinen genannten früheren Untersuchungen benutzt (cf. F. d. M. 25, 263, 1894, JFM 25.0263.01). Mit \(u\) und \(U\) bezeichnet der Verf. die untere, bez. obere Unbestimmtheitsgrenze der Summe \(\sum\limits_{\lambda=1}^k\frac{\mu(\lambda)}{\lambda}\) für unbegrenzt wachsendes \(k\). Auf Grund der Gleichung (1) zeigt sich ohne besondere Mühe, dass unmöglich \(u>0\) und dass gleichfalls nicht \(U<0\) sein kann; umständlicher ist dagegen der Beweis der Unmöglichkeit von \(U>0\) und \(u<0\). Durch Zusammenfassung ergiebt sich die zu beweisende Gleichung \(\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{\mu(k)}k=0\). Weitere Folgerungen sind, dass die Summe \(\sum\limits_{k=1}^n\mu(k)\) bei unbegrenzt wachsendem \(n\) im Verhältnis zu \(n\) verschwindend klein wird, sowie dass für sehr grosse \(n\) zwischen 1 und \(n\) annähernd ebenso viele ganze Zahlen vorkommen, die aus einer geraden, als solche, die aus einer ungeraden Anzahl von Primfactoren zusammengesetzt sind.

Reviewer: Fricke, Prof. (Braunschweig)

MSC:

11A25	Arithmetic functions; related numbers; inversion formulas
11N25	Distribution of integers with specified multiplicative constraints

JFM Section:

Dritter Abschnitt. Niedere und höhere Arithmetik. Kapitel 2. Zahlentheorie. A. Allgemeines.

Keywords:

Mobius function

Citations:

JFM 25.0263.01