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Higher irreducible congruences. (English) JFM 28.0185.01

,,Bei der Durcharbeitung der Theorie der modulo \(p\) \((p= \) Primzahl) irreducibeln Congruenzen kann man eine Theorie von Formen aufstellen, welche dem Galois-Felde \(\mathrm{GF}[p^n]\) von der Ordnung \(p^n\) angehören und in ihm irreducibel sind. Die von Galois, Serret und Jordan herrührenden Existenzbeweise einer modulo \(p\) irreducibeln Congruenz für jeden Grad können einzeln unschwer zu dem Beweise dafür verallgemeinert werden, dass es für jedes \(m\), \(n\) und \(p\) \((= \) Primzahl) eine Form \(m\)-ten Grades giebt, die dem \(\mathrm{GF}[p^n]\) angehört und in ihm irreducibel ist, oder, um eine Bezeichnung dafür zu brauchen, eine \(IQ[m,p^n]\).
Da man das \(\mathrm{GF}[p^{mn}]\) entweder durch eine \(IQ[m,p^n]\) oder durch eine \(IQ[mn,p]\) definiren kann, so kann eine Theorie der ersteren Formen oft bei der Aufstellung und Durcharbeitung des \(\mathrm{GF}[p^{mn}]\) praktisch wertvoll sein. Bei gewissen Forschungen (nach Art vieler Jordanschen), in denen der Gebrauch der concreten Gestalt des \(\mathrm{GF}[p^{mn}]\) vorziehbar erscheint (nämlich der Gebrauch der auf einem imaginären Galois-Felde beruhenden Formen), dürfte es oft, besonders bei Verallgemeinerungen, einfacher sein, eine definirende \(IQ[m,p^n]\) zu gebrauchen, indem man das bezügliche \(\mathrm{GF}[p^n]\) in seiner abstracten Gestalt beibehält. Die nun vorkommenden Formen sind dann von einem Grade \(\eqslantless m-1\) statt von einem Grade \(\eqslantless mn-1\).
Der erste Teil der hier gegebenen Theorie geht parallel zu den schönen Entwickelungen von Serret [Cours d’algébre supérieure. Paris: Gauthier-Villars (1877; JFM 17.0053.01), Section III, Chap. III (§360 bildet eine bezeichnende Ausnahme; vgl. §16 unten)]; daher begnüge ich mich mit der Fassung der wichtigeren verallgemeinerten Sätze. Da es sich mit Chap. IV ganz anders verhält, so gebe ich die entsprechenden Entwickelungen in voller Länge.”

MSC:

11T06 Polynomials over finite fields

Citations:

JFM 17.0053.01
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