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Some theorems on the Pell equation \(x^2-Dy^2=\pm1\) and their applications. (Quelques théorèmes sur l’équation de Pell \(x^2-Dy^2=\pm1\) et leurs applications.) (Norwegian) JFM 28.0192.02

Christiania Videnskabsselskabs Skrifter. M. N. Klasse No. 2. Udgivet for Fridthjof Nansen’s Fond. 48 p. in Imp. 8 vo (1897).
Die bewiesenen Sätze können wir in folgendem Theorem zusammenfassen. Besitzt die Pellsche Gleichung \(x^2-Dy^2=\varepsilon\), wo \(D\) eine ganze positive Zahl ist und \(\varepsilon=\pm1\), ganze positive Lösungen \(x\) und \(y\), und ist \(y_1\) die kleinste positive Lösung \(y\), so giebt es entweder keine solche Lösung \(y\), dass jede Primzahl, die ein Teiler von \(y\) ist, auch ein Teiler von \(D\) ist, oder es giebt nur eine solche Lösung, und diese ist eben \(y_1\).
Der Beweis beruht auf den Entwickelungen der allgemeinen Lösungen \(x\) und \(y\) der Pellschen Gleichung und auf den Sätzen über die höchste Potenz einer Primzahl, die ein Teiler des Productes \(1.\,2.\,3\,\dots\,n\) ist. Von den bewiesenen Sätzen werden einige interessante Anwendungen gemacht. 1) Vollständige Lösung in ganzen positiven Zahlen \(x,z_1,\dots,z_n\) der unbestimmten Gleichung: \(1+x^2=K.A_1^{z_1} A_2^{z_2}\dots A_n^{z_n}\), wo \(K\), \(A_1\), ..., \(A_n\) gegebene ganze positive Zahlen sind. 2) Vollständige Bestimmung sämtlicher ganzen Zahlen von der Form \(1+x^2\), die nur durch die Primzahlen \(p_1,p_2,\dots,p_n\) teilbar sind. 3) Einige analoge Sätze über Triangularzahlen und Zahlen von der Form \(x^2-1\), wo \(x\) eine ganze positive Zahl ist. 4) Vollständige Lösungen in ganzen positiven Zahlen \(\lambda_0, \lambda_1,\dots,\lambda_n\) und \(x\) von der Gleichung: \[ \arctan\frac1x = \frac{\lambda_1}{\lambda_0}\varphi_1 + \frac{\lambda_2}{\lambda_0}\varphi_2 + \cdots + \frac{\lambda_n}{\lambda_0}\varphi_n, \] wo die \(\varphi\) gegebene Bogen mit rationalen Tangenten sind. Wie aus den Entwickelungen hervorgeht, giebt es, wenn überhaupt Lösungen dieser Probleme existiren, nur eine endliche Anzahl von Lösungen. 5) Bezeichnet \(f(x)\) eine der Functionen \(x^2+1\), \(x^2-1\) und \(\frac12x(x+1)\), und sind \(\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n\) gleich 1 oder 2, so können die zwei Gleichungen: \[ \begin{aligned} f(x) &= z_1^{2x_1+\varepsilon_1} z_2^{2x_2+\varepsilon_2}\dots z_n^{2x_n+\varepsilon_n},\\ f(y) &= z_1^{2y_1+\varepsilon_1} z_2^{2y_2+\varepsilon_2}\dots z_n^{2y_n+\varepsilon_n}\end{aligned} \] nicht gleichzeitig bestehen, wenn \(x_1,\dots,x_n\), \(y_1,\dots,y_n\) ganze positive Zahlen oder Null sind, und \(z_1,\dots,z_n\) ganze positive Zahlen, samt \(x\gtrless y\). Ferner werden hieraus neue Beweise für die Unmöglichkeit der Gleichungen: \(1+x^2=y^n\) und \(1+x^2=2y^n\) abgeleitet, wo \(x\) und \(y\) ganze Zahlen \(>1\) sein sollen und \(n\) eine ungerade Primzahl.

MSC:

11D09 Quadratic and bilinear Diophantine equations
11D41 Higher degree equations; Fermat’s equation