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Leçons sur la théorie analytique des équations différentielles professées à Stockholm (septembre, octobre, novembre 1895) sur l’invitation de S. M. le Roi de Suède et de Norwège. (French) JFM 28.0262.01
Paris: A. Hermann. 19 + 6 + 589 S. \(4^\circ\). lith (1897).
Der Verf., der in dem letzten Jahrzehnt eine Reihe höchst wertvoller Arbeiten zur Theorie der Differentialgleichungen beigesteuert hat, und dessen Mémoire sur les équations différentielles du premier ordre (Ann. de l’Éc. Norm. (3) 8, F. d. M. 23, 317-319, 1891, JFM 23.0317.01) von der Akademie in Paris gekrönt wurde, hat die von ihm auf Einladung des Königs von Schweden im Herbste 1895 zu Stockholm gehaltenen Vorträge über die neueren Fortschritte in der Theorie der Differentialgleichungen lithographirt herausgegeben und sie mit einer längeren Vorrede versehen, die auch in Darboux Bull. (2) 21, 67-90 abgedruckt ist; aus derselben entnehmen wir die folgenden Angaben.
Ein System von Differentialgleichungen: \[ \frac{dy_i}{dx}=f_i(x,y_1,\dots,y_m)\quad(i=1,2,\dots,m),\tag{1} \] in welchem die \(f_i\) algebraische Functionen von \(y_1\), ..., \(y_m\), analytische von \(x\) sind, besitzt nach Cauchy eine Lösung \(y_1(x)\), ..., \(y_m(x)\), die holomorph ist für \(x=x_0\), und die den Anfangsbedingungen \(y_1(x_0)=y_1^0\), ..., \(y_m(x_0)=y_m^0\) genügt, wenn die \(f_i\) für \(x=x_0\), \(y_1=y_1^0\), ..., \(y_m=y_m^0\) holomorph sind. Den allgemeinsten Differentialsystemen (1), dem Studium der durch ein solches System definirten Functionen, ihrer Singularitäten u. s. w. sind diese Vorlesungen gewidmet. Die hauptsächlichste Anwendung der allgemeinen Ausführungen bezieht sich auf solche Systeme, deren Integral \(y_1(x)\), ..., \(y_m(x)\) nur eine endliche Anzahl von Werten um bewegliche kritische Punkte annimmt (variabel mit den Integrationsconstanten). Zu diesem Behufe werden die Singularitäten der Functionen \(y_i\) bei einem Punkte \(\bar a\) als algebraisch, transcendent und als wesentlich unterschieden. ,,Die Existenz der beweglichen wesentlichen Singularitäten, die man an den Gleichungen nicht im voraus erkennen kann, bildet eine der gewichtigsten Schwierigkeiten, denen man in der analytischen Theorie der Differentialsysteme begegnet.” Dieselben können 1) isolirt oder die Grenzen isolirter Punkte sein; 2) in einem Gebiete der \(x\)-Ebene eine Gesamtheit bilden, von der kein Punkt isolirt ist, ohne dass diese Gesamtheit irgendwo eine Linie bildet; 3) bewegliche singuläre Linien bilden.
Die breiteste Behandlung wird den Differentialgleichungen erster Ordnung (\(A\)) \(F(y',y,x)=0\) zu Teil, die algebraisch in \(y'\) und \(y\), analytisch in \(x\) sind; die analytische Theorie derselben beruht auf zwei Theoremen, von denen keines für die zweite Ordnung besteht: I. Ein Integral \(y(x)\) von (\(A\)) kann als nicht algebraische singuläre Punkte nur gewisse feste Punkte \(x=\xi\) zulassen, die an der Gleichung selbst in die Augen springen. Wenn die Gleichung (\(A\)) in \(x\) algebraisch ist, so ist die Anzahl dieser Punkte \(\xi\) endlich, und sie werden algebraisch erhalten. II. Man bezeichne mit \(y_0\) den Wert von \(y(x)\) für \(x=x_0\), mit \(y=\varphi(x,y_0,x_0)\) das allgemeine Integral von (\(A\)). Wenn \(\bar x\), \(\bar x_0\) zwei beliebige unterschiedene Zahlwerte der \(\xi\) bedeuten, so zeigt die Function \(y=\varphi(\bar x,y_0,\bar x_0)\) in der ganzen Ebene der \(y_0\) (in endlicher oder unendlicher Entfernung) nur algebraische singuläre Punkte. Vermittelst dieser Sätze kann man den Picard’schen Satz über die Nullen der ganzen Functionen auf die Integrale solcher Gleichungen (\(A\)) übertragen, die in \(y'\), \(y\), \(x\) algebraisch sind. Bei der Betrachtung derjenigen Gleichungen (\(A\)), deren Integral nur \(n\) Werte um bewegliche kritische Punkte annimmt, ergiebt sich ferner hieraus, dass das Integral \(y=\varphi(x,y_0,\bar x_0)\) einer solchen Gleichung eine algebraische Function von \(y_0\) ist, und umgekehrt. Die Gleichungen (\(A\)) mit festen kritischen Punkten, die einfachsten dieser Klasse, sind von Fuchs und Poincaré untersucht worden; die Ergebnisse dieser Forschungen werden an der Hand der beiden obigen Sätze beleuchtet. Eine Gleichung (\(A\)), deren Integral nur \(n\) Bestimmungen um bewegliche feste Punkte zulässt, kommt algebraisch auf eine Gleichung (\(A\)) zurück, deren kritische Punkte fest sind. Bezüglich der nun aufzuwerfenden Frage, wie man an einer vorgegebenen Gleichung erkennen kann, ob sie in die untersuchte Kategorie gehört, wird der folgende Satz aufgestellt: Man kann mittels einer endlichen Anzahl von Operationen erkennen, ob das Integral einer Gleichung (\(A\)) (um bewegliche kritische Punkte) nur eine gegebene Anzahl \(n\) von Werten annimmt. Wenn dem so ist, so lässt sich die Gleichung algebraisch integriren oder algebraisch auf eine Gleichung von der Gestalt \[ \frac{du}{\sqrt{(1-u^2)(1-k^2u^2)}}=h(x)dx \] oder auf eine Riccati’sche Gleichung zurückführen. Ferner: Ist eine in \(y'\), \(y\), \(x\) algebraische Gleichung \((A_1)\) \(F_1(y',y,x)=0\) gegeben, so kann man mittels einer endlichen Anzahl von Operationen erkennen, ob das Integral \(y(x)\) eine transcendente Function ist, die eine (nicht gegebene) endliche Anzahl von Werten um bewegliche kritische Punkte annimmt, oder die Gleichung auf Quadraturen zurückführen. Viel schwieriger ist dagegen die Entscheidung darüber, ob das Integral von \((A_1)\) algebraisch ist. Die einschlägigen Untersuchungen werden in zwei gesonderten Vorlesungen behandelt.
Bei dem nunmehrigen Uebergange zu den Differentialsystemen zweiter Ordnung stösst man zum ersten Male auf die mögliche Existenz von beweglichen wesentlichen (kritischen oder nicht nicht kritischen) Punkten; doch bilden die Systeme (1), deren allgemeines Integral wesentliche bewegliche Punkte besitzt, eine Ausnahmeklasse. Nachdem diese Aussage in einer längeren Schlussweise mit Hülfe mehrerer Theoreme bestätigt ist, wird nun die gewonnene Einsicht bei der Betrachtung einer Gleichung (\(B\)) \(F(y'',y',y,x)=0\) verwendet, die algebraisch in \(y''\), \(y'\), \(y\), analytisch in \(x\) ist. Ersetzt man in (\(B\)) \(y\) durch \(z=\chi(y,y',x)\), wo \(\chi\) algebraisch in \(y\), \(y'\), analytisch in \(x\) ist, so heisst die resultirende Gleichung zweiter Ordnung die ,,algebraische Transformirte” von (\(B\)). Die Gleichung (\(B\)) wird als zur singulären Klasse gehörig bezeichnet, wenn sie nebst allen ihren algebraischen Transformirten den beiden Bedingungen genügt: 1) Wenigstens ein Zweig der durch (\(B\)) definirten Function \(y''(y',y,x)\) ist so beschaffen, dass \(y''/y'^2\) für \(y'=\infty\) endlich bleibt. 2) Die Function \(y''(y',y,x)\) lässt wenigstens einen von \(y'\) unabhängigen Pol \(y=G(x)\) zu (von der Ordnung 1 oder \(>1\)). Dieser Pol kann auch \(y=\infty\) sein. Jede Gleichung (\(B\)), die nicht zur singulären Klasse gehört, wird in die allgemeine Klasse gerechnet. Ist nun \(E_n\) eine beliebige Gleichung (\(B\)), deren allgemeines Integral um bewegliche kritische Punkte nur die Anzahl \(n\) von Werten erlangt, so ist \(y(x)\) eine algebraische Function der beiden Constanten \(y_0\), \(y_0'\), falls \(E_n\) zur allgemeinen Klasse gehört; oder allgemeiner: Das Integral einer Gleichung \(E_n\) enthält die Constanten \(y_0\), \(y_0'\) unter algebraischer oder transcendenter Form, je nachdem \(E_n\) zur allgemeinen oder zur singulären Klasse gehört. Bei dem Eingehen auf die Gleichungen der allgemeinen Klasse, deren Natur besonders von Picard in seinen Untersuchungen über die algebraischen Functionen zweier Variabeln erforscht ist, ergiebt sich unter anderem, dass jede Gleichung \(E_n\) dieser Klasse entweder einer Combination zweier Gleichungen erster Ordnung mit festen kritischen Punkten äquivalent ist, oder sich algebraisch auf eine lineare Differentialgleichung oder ein hyperelliptisches System: \[ \frac{dy}{\sqrt{R(y)}} + \frac{dz}{\sqrt{R(z)}} = h(x)dx,\quad \frac{ydy}{\sqrt{R(y)}} + \frac{zdz}{\sqrt{R(z)}} = k(x)dx \] zurückführen lässt, wo \(R\) vom fünften Grade ist. Bei dieser Gelegenheit giebt der Verf. auch einen Beweis des von ihm benutzten Weierstrass’schen Satzes über die Functionen mehrerer Variabeln, die ein Additionstheorem besitzen.
Die angeführten Sätze zeigen, dass die durch eine Gleichung \(E_n\) der allgemeinen Klasse definirten Transcendenten mit \(n\) Verzweigungen sich nicht von denen unterscheiden, die man bei den linearen Gleichungen und bei Quadraturen erhält. Wie steht es nun in dieser Hinsicht bei den Gleichungen der singulären Klasse? Semitranscendent nennt der Verf. das Integral \(y(x)\), wenn es in Bezug auf eine der beiden Constanten \(y_0\), \(y_0'\) algebraisch, in Bezug auf die andere transcendent ist; transcendent dagegen, wenn es beide in transcendenter Form enthält. Der Begriff der Irreducibilität wird weiter so gefasst: Damit eine Gleichung \(E_n\) der singulären Klasse (algebraisch in \(y''\), \(y'\), \(y\), \(x\)) irreducibel sei, ist es notwendig und hinreichend, dass ihr Integral eine transcendente (nicht aber semitranscendente) Function der beiden Constanten ist. Die Herstellung derartiger Gleichungen \(E_n\) ist die nächste Aufgabe. Unter den vom Verf. gewonnenen Ergebnissen sind zu nennen: die Bestimmung aller Gleichungen mit festen kritischen Punkten von der Form \(y''=R(y',y)\), wo \(R\) rational in \(y'\), \(y\) und unabhängig von \(x\) ist; die Bestimmung aller Gleichungen \(F(y'',y',y,x)=0\) (unter der Annahme, dass das Geschlecht der Oberfläche \(F(y'',y',y,\bar x)=0\) grösser als 1 ist), deren allgemeines Integral \(y(x)\) als bewegliche Singularitäten nur Pole hat, u. s. w. Wir erwähnen bloss die Verallgemeinerungen dieser Betrachtungen für Systeme von \(m\) Functionen \(y_i\), die von \(q\) Variabeln \(x_k\) ahhängen.
Während bis dahin alle Untersuchungen gemäss dem Standpunkte der allgemeinen Functionentheorie alle Variabeln als complexe Zahlen voraussetzten, wird zuletzt eine Beschränkung auf das reelle Gebiet vorgenommen. Als Beispiel diene das folgende Theorem: ,,Wir wollen annehmen, dass keine singulären Lagen des materiellen Systems \(S\) in endlicher Entfernung vorhanden seien, und dass die Kräfte aus einem Potential \(U(x_1,\dots,x_n)\) fliessen, welches, ebenso wie die Coefficienten der lebendigen Kraft \(2T\), eine Function der \( x_1,\dots,x_n\) mit einer endlichen Anzahl von Verzweigungen ist. Wir wollen weiter annehmen, dass, wenn \(K\) das Trägheitsmoment von \(S\) bezüglich des Coordinatenanfangs ist, \(U/K^2\) unterhalb einer endlichen Grösse \(A\) bleibt für jede Lage von \(S\). Wenn \(t\) sich dem Werte \(t_1\) nähert (welches auch immer \(t_1\) und die Anfangsbedingungen sind), so nähern sich \(x_i\), \(x_i'\) bestimmten endlichen Werten; die \(x_i(t)\) lassen sich in Reihen entwickeln nach Polynomen: \(x_i(t)=\sum P_r^{(i)}(t)\,(r=0,\dots,\infty)\), die für ein beliebiges \(t\) convergiren, deren Coefficienten sich durch einfache Differentiationen wie die einer Taylor’schen Reihe als Functionen der Anfangsbedingungen berechnen lassen, und die in Bezug auf Convergenz, Differentiirbarkeit u. s. w. der Haupteigenschaften einer Taylor’schen Reihe teilhaftig sind.” Diese Reihen integriren also die Bewegungsgleichungen nach dem neueren Sinne dieses Ausdrucks. Unter den so definirten Typus fällt das Problem der Bewegung des starren, in einem Punkte befestigten Körpers, nicht aber das Vielkörperproblem. Ueber dieses letztere werden zum Schluss einige besondere Betrachtungen angestellt.

Subjects:
Sechster Abschnitt. Differential- und Integralrechnung. Kapitel 5. Gewöhnliche Differentialgleichungen.
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