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Verwendung asymptotischer Darstellungen zur Untersuchung der Integrale einer speciellen linearen Differentialgleichung. I, II. (German) JFM 28.0286.01
Math. Ann. 49, 453-472 (1897); 49, 473-496 (1897).
Von den Integralen der Differentialgleichung \[ x\frac{d^2y}{dx^2} + (\lambda_1+\lambda_2+2)\frac{dy}{dx} + (x+(\lambda_1-\lambda_2)i)y=0\tag{1} \] wird unter der Voraussetzung, dass ganzzahlige Werte von \(\lambda_1\), \(\lambda_2\), \(\lambda_1+\lambda_2\) ausgeschlossen sind, die asymptotische Darstellung vermittelst der divergenten Reihen \[ \begin{aligned} S_1 &= e^{ix}x^{-\lambda_1-1}(A_0+A_1/x+A_2/x^2+\cdots),\\ S_2 &= e^{-ix}x^{-\lambda_2-1}(B_0+B_1/x+B_2/x^2+\cdots),\end{aligned} \] die die Gleichung (1) formell befriedigen, gegeben, und dabei werden das bezügliche Poincarésche Verfahren für allgemeinere lineare Differentialgleichungen, sowie die älteren Untersuchungen über Besselsche Functionen soweit ergänzt, daß sich das Verhalten der Integrale von (1) in der ganzen Umgebung der singulären Stelle \(x=\infty\) übersehen läßt.
Auf Grund dieser im ersten Teil enthaltenen Entwickelungen wird im zweiten Teil zunächst die Lage der Nullstellen der Integrale von (1) in der Umgebung von \(x=\infty\) bestimmt. Dadurch wird alsdann die Weierstraßsche Productentwickelung der ganzen transcendenten Functionen \(G_1(x)\), \(G_2(x)\) ermöglicht, die in den der Gleichung (1) genügenden Integralausdrücken \(y_1=G_1(x)\), \(y_2=x^{-\lambda_1-\lambda_2-1}G_2(x)\) auftreten. Hierbei zeigt sich, dass die Functionen \(G_1(x)\) und \(G_2(x)\) beide vom Geschlecht 1 sind.
Zum Schluss wird der besondere Fall behandelt, dass \(\lambda_1\) und \(\lambda_2\) conjugirt complex sind, so daß (1) eine Differentialgleichung mit reellen Coefficienten wird, und es wird der Verlauf der reellen Integrale dieser Gleichung für große reelle positive Werte von \(x\) betrachtet.

MSC:
34-XX Ordinary differential equations
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References:
[1] Jordan, Cours d’Analyse, Bd. III (1887), S. 253 ff.
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