×

zbMATH — the first resource for mathematics

Sur les transformations et l’intégration des systèmes différentiels. (French) JFM 28.0298.03
Die drei vorliegenden (siehe auch JFM 28.0298.01; JFM 28.0298.02) Arbeiten sind Ergänzungen und Anwendungen der vorjährigen Abhandlung des Verfassers: Extension du théorème de Cauchy etc. (Ann. de l’Éc. Norm (3) 13, 421-467, F. d. M. 27, 267, 1896, JFM 27.0267.01) In der ersten Abhandlung wird gezeigt, dass die Methode zur Reduction beliebiger Systeme partieller Differentialgleichungen auf eine kanonische Form ohne wesentliche Aenderungen auch auf algebraische Gleichungen angewandt werden kann, und es treten dadurch interessante Beziehungen zwischen beiden Arten von Systemen auf; besonders zeigt sich, dass das allgemeine Integral des einen und die allgemeine Lösung des andern innig mit einander verknüpft sind.
Die zweite Abhandlung giebt eine Anwendung der erwähnten Reductionsmethode auf Systeme erster Ordnung mit einer einzigen Unbekannten. Es zeigt sich, dass bei dieser Art der Betrachtung, bei welcher von dem verallgemeinerten Cauchy’schen Theorem und den kanonischen Formen statt von dem Theorem der Frau von Kowalevsky ausgegangen wird, die Theorie grössere Einfachheit gewinnt, weil die Fälle, in denen \(z\) in den Gleichungen auftritt oder nicht, nicht unterschieden zu werden brauchen, und weil die verschiedenen Integrationsmethoden sich viel einfacher darbieten, da die Eigenschaften, auf denen sie beruhen, unmittelbare Folgerungen der allgemeinen Theoreme über diese Systeme sind.
Die dritte Abhandlung giebt eine Verallgemeinerung der Theorie der Zwischenintegrale auf allgemeine Differentialgleichungssysteme. Um die Integration eines Systems \(\Sigma\) auszuführen, versucht man Zwischensysteme \(\Sigma'\) zu bilden, d. h. einfachere Systeme als \(\Sigma\), deren sämtliche Integrale auch Integrale von \(\Sigma\) sind; kennt man derartige Systeme \(\Sigma'\), deren Gleichungen willkürliche Grössen in genügender Anzahl enthalten, so ist die Integration von \(\Sigma\) auf die von \(\Sigma'\) zurückgeführt. Um ein solches System zu bilden, muss man zu \(\Sigma\) Ergänzungsgleichungen hinzufügen, denen man die Bedingung auferlegen wird, mit \(\Sigma\) ein System \(\Sigma'\) zu bilden, dessen allgemeines Integral von willkürlichen Grössen abhängen wird, deren Zahl und Natur a priori bestimmt wird. Die ersten Glieder dieser Ergänzungsgleichungen werden einem Systeme \(\Sigma''\) genügen müssen, und es wird demnach die Integration von \(\Sigma\) in die von \(\Sigma''\) und alsdann von \(\Sigma'\) zerlegt. Da man natürlich ein solches \(\Sigma'\) wählen wird, das man sicher integriren kann, so ist demnach die Schwierigkeit der Integration auf \(\Sigma''\) zurückgeführt; daher wird \(\Sigma''\) das transformirte System genannt.
Lässt man \(\Sigma'\) variiren, so findet man auf diesem Wege die meisten Resultate von einem einzigen Ausgangspunkt, die bisher über derartige allgemeine Systeme bekannt geworden sind. Besonders erwähnenswert von den Ergebnissen der Abhandlung ist noch, dass zur Integration derjenigen Systeme, deren allgemeines Integral von einer einzigen willkürlichen Function abhängt, die Darboux’sche Methode sich als die natürlichste und einfachste darbietet.

PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI Numdam EuDML