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Mémoire sur les équations différentielles. (French) JFM 28.0301.02
Verfasser behandelt in der vorliegenden Arbeit im Anschluss an zwei von ihm in der Revue bourguignonne de l’enseignement supérieur (3, 3 und 5, 1) veröffentlichte Abhandlungen das System der beiden Pfaff’schen Gleichungen: \[ \left\{\begin{aligned} a_1dx_1+a_2dx_2+a_3dx_3+a_4dx_4+a_5dx_5+a_6dx_6 &=0,\\ b_1dx_1+b_2dx_2+b_3dx_3+b_4dx_4+b_5dx_5+b_6dx_6 &=0,\end{aligned}\right.\tag{1} \] worin die Grossen \(a\) und \(b\) Functionen der Grossen \(x\) bedeuten, von denen beliebig viele als unabhängige Variabeln betrachtet werden. Es ergeben sich im ganzen neun verschiedene Formen, auf die das System (1) durch geeignete Transformationen reducirt werden kann. Für jede dieser Formen werden die Lösungen angegeben, und zwar klassificirt nach der Anzahl der unabhängigen Variabeln, welche für die erste Form bis 4, für die zweite, dritte und vierte bis 3, für die übrigen Formen nur bis 2 aufsteigen kann. Von grossem Nutzen war dem Verfasser bei dieser Untersuchung eine Arbeit von Darboux über die reducirten Formen der Pfaff’schen Gleichung (Darb. Bull. (2) 6). Den Schluss der Arbeit bildet die allgemeine Behandlung des Falles zweier unabhängigen Variabeln; dieser ist von besonderem Interesse, weil er einen Uebergang von den Differentialgleichungen erster zu denen zweiter Ordnung bildet. Die Lösungen hängen in diesem Falle von zwei willkürlichen Functionen einer Variable ab. Insbesondere hat Verfasser zwei nach seiner Ansicht neue und auch für den Geometer interessante Fälle gefunden, wo man mit Hülfe von gewöhnlichen Differentialgleichungen Lösungen des vorgelegten Systems erhält, welche nur eine willkürliche Function enthalten, ohne doch darum die allgemeine Lösung des Systems erhalten zu können. — Es sei endlich noch bemerkt, dass die vom Verfasser angewandten Transformationen in engem Zusammenhange mit den Methoden stehen, welche Lie in seinen schönen Arbeiten über die partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung befolgt hat.
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Full Text: EuDML