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Ueber die Integration der partiellen Differentialgleichungen zweiter Ordnung. Aus dem Russischen übersetzt von Fr. Engel. (German) JFM 28.0306.03

Das Original dieser Arbeit erschien im Jahre 1874 als Doctordissertation im siebenten Bande der mathematischen Sammlung der Moskauer mathematischen Gesellschaft; nur wenige Zusätze sind neu hinzugekommen. Bei Anwendung der Bezeichnung \(z_k^i = \frac{\partial^{i+k}z}{\partial x^i\partial y^k}\) lautet die vorgelegte Differentialgleichung: \[ f(x, y, z, z',z_1, z'', z_1', z_{11}) = 0. \] Um diese Gleichung zu integriren, muss das System \[ dz = z'dx+z_1 dy,\;dz' = z'' dx+z_1' dy,\;dz_1 = z_1' dx+z_{11} dy \] vollständig integrirt werden derart, dass \(z''\), \(z_1'\), \(z_{11}\) als solche Functionen von \(x,y,z,z',z_1\) betrachtet werden, welche der Gleichung \(f=0\) und den Integrabilitätsbedingungen identisch genügen.
Es werden nun zunächst die Integrale obigen Systems studirt, die Integrale erster Ordnung genannt werden; wird ein solches mit \(\varphi (x,y,z,z',z_1)=a\) bezeichnet, so muss \(d\varphi\) verschwinden; je nach der Beschaffenheit der Gleichungen \(f\) und \(\varphi\) können nun die Gleichungen \(f= 0\) und die aus \(d\varphi= 0\) sich ergebenden Bedingungsgleichungen hinreichend sein, um \(z''\), \(z_1'\), \(z_{11}\) zu bestimmen oder nicht. Demnach erhält man zwei Klassen solcher Integrale, und es werden als Integrale erster Ordnung und erster Klasse von \(f= 0\) die Gleichungen \(\varphi= a\) bezeichnet, von denen jede in Verbindung mit \(f= 0\) unzureichend ist, um die zweiten Ableitungen von \(z\) zu bestimmen.
Es folgt nun die genaue Untersuchung, welche Gleichungen \(f= 0\) Integrale erster Klasse besitzen, und die Aufsuchung derselben wird auf die Integration eines Systems von zwei simultanen partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung zurückgeführt. Alsdann wendet sich die Untersuchung den Integralen erster Ordnung und zweiter Klasse zu, wodurch man naturgemäss zur Aufsuchung der Integrale zweiter Ordnung geführt wird, die auch wieder in zwei Klassen zerfallen. Gelingt die Aufsuchung von Integralen zweiter Ordnung erster Klasse nicht, so gelangt man entsprechend zu Integralen dritter, vierter, ..., eventuell höherer Ordnungen. Sobald man so fortschreitend zu Integralen erster Klasse kommt, bietet die weitere Integration keine Schwierigkeiten mehr.
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