Sur les caractéristiques des équations aux dérivées partielles. (French) JFM 28.0315.02

Beudon, J.

S. M. F. Bull. 25, 108-120 (1897).

Die zweite Abhandlung, welche die Beweise der in der ersten Note gegebenen Sätze enthält, giebt eine Ausdehnung der Charakteristikentheorie auf Gleichungen höherer Ordnung und mit beliebig vielen Variabeln. Ist \(z\) eine Function von \(x_1, \dots, x_n\), so bestehen die Gleichungen \[ d\frac{\partial^kz}{\partial x_1^{a_1}\dots\partial x_n^{a_n}} = \sum_{i=1}^n\frac{\partial^{k+1}z}{\partial x_1^{a_1}\dots\partial x_i^{a_i+1}\dots\partial x_n^{a_n}}\,dx_i (\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_n=k). \] Bezeichnet man irgend ein Wertsystem von \(x_1,\dots,x_n\), \(z_1\) \(\frac{\partial^kz}{\partial x_1^{a_1}\dots\partial x_n^{a_n}}\), wo \(k\) Werte von 0 bis \(p\) annimmt, als Element \(p^{\text{ter}}\) Ordnung, so definirt jedes Gleichungssystem zwischen den Coordinaten eines Elements, welches den obigen Gleichungen genügt, eine Mannigfaltigkeit \(M^p\); in jedem dieser Systeme giebt es Relationen nur zwischen \(x_1,\dots, x_n\), \(z\), welche Träger von \(M^p\) heissen. Es giebt \(M^p\) derart, dass jedem Punkte des Trägers nur ein Element \(p^{\text{ter}}\) Ordnung entspricht; ist \(q\) die Dimension des Trägers, so wird solche Mannigfaltigkeit mit \(M_q^p\) bezeichnet.
Ist nun eine partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung \(f(x_1, \dots, x_n,z, p_1,\dots, p_n, p_{ik}) = 0\) gegeben, so ist ein Integral derselben im allgemeinen definirt durch eine Mannigfaltigkeit \(M_{n-1}^1\), ausser wenn diese eine singuläre Mannigfaltigkeit ist, d. h. wenn die Gleichungen bestehen: \[ f=0,\;\frac{\partial z}{\partial x_i}=p_i+p_n\frac{\partial x_n}{\partial x_i},\quad\frac{\partial p_{\varrho}}{\partial x_i} = p_{\varrho i}+p_{\varrho n}\frac{\partial x_n}{\partial x_i}\quad\left( \begin{aligned} i &=1,\dots,n-1\\ \varrho &= 1,\dots,n\end{aligned}\right), \]
\[ \sum_{\varrho=1}^{n-1}\sum_{i=1}^{n-1} \frac{\partial f}{\partial p_i} \cdot \frac{\partial x_n}{\partial x_i} \cdot \frac{\partial x_n}{\partial x_\varrho} - \sum_{\varrho=1}^{n-1} \frac{\partial f}{\partial p_{\varrho n}} \cdot \frac{\partial x_n}{\partial x_\varrho} + \frac{\partial f}{\partial p_{nn}} = 0, \]
\[ \sum_{\varrho=1}^{n-1}\sum_{i=1}^{n-1} \frac{\partial f}{\partial p_{\varrho i}}\left( \frac{\partial p_{\varrho n}}{\partial x_i} - \frac{\partial x_n}{\partial x_i} \cdot \frac{\partial p_{nn}}{\partial x_\varrho}\right) + \sum_{\varrho=1}^{n-1} \frac{\partial f}{\partial p_{\varrho n}}\cdot \frac{\partial p_{nn}}{\partial x_\varrho} + \sum_{\varrho=1}^n\frac{\partial f}{\partial p_{\varrho}}\cdot p_{\varrho n} + \frac{\partial f}{\partial z}p_n + \frac{\partial f}{\partial x_n} = 0. \] In diesem Fall erhält man eine singuläre Mannigfaltigkeit \(M_{n-1}^2\), welche in unzählig vielen Integralen enthalten ist. Zu jeder Ordnung \(p\) gehören singuläre Mannigfaltigkeiten \(M_{n-1}^p\), welche dieselbe Eigenschaft besitzen. Wenn zwei singuläre Mannigfaltigkeiten \(M_{n-1}^p\) zu derselben singulären Mannigfaltigkeit \(M_{n-1}^{p-1}\) gehören und ein Element \(p^{\text{ter}}\) Ordnung in einem Punkte gemeinsam haben, so ist diese Eigenschaft längs einer Curve vorhanden, die durch diesen Punkt geht. Siehe auch JFM 28.0315.01.

Reviewer: Schafheitlin, Dr. (Charlottenburg)

JFM Section:

Sechster Abschnitt. Differential- und Integralrechnung. Kapitel 6. Partielle Differentialgleichungen.

Citations:

JFM 28.0315.01