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On a law of combination of operators bearing on the theory of continuous transformation groups. (English) JFM 28.0321.01
\(y\) und \(x\) seien Operatoren, die das distributive und associative Gesetz befolgen, aber nicht notwendig das commutative. Ferner bezeichne \(y_1\) die Operation \(yx-xy\), ..., \(y_r\) die Operation \(y_{r-1}x-xy_{r-1}\); endlich sei \([yx^r]=yx^r+xyx^{r-1}+\cdots+x^ry\). Dann gilt das Gesetz: \[ \frac{yx^r}{r!}= \left[y\frac{x^r}{(r+1)!}\right] + a_1\left[y_1\frac{x^{r-1}}{r!}\right] + a_2\left[y_2\frac{x^{r-2}}{(r- 1)!}\right] + \cdots + a_{r-1}\left[y_{r-1}\frac x{2!}\right] + a_ry_r, \] wo die numerischen Constanten \(a\) an die Recursionsformel gebunden sind: \((m+1)a_m = a_{m-1}-(a_1a_{m-1}+a_2a_{m-2}+\cdots+a_{m-1}a_1)\) und \(a_1=\frac12\), \(a_2=\frac1{12}\), \(a_3=a_5=a_7=\cdots=0\). (Vgl. Lie-Engel, Transformationsgruppen Bd. 3, § 144).
Der Beweis wird durch vollständige Induction geführt bei Zugrundelegung des Lieschen Princips der Reihenentwickelung infinitesimaler Transformationen. Vgl. indessen das folgende Referat, JFM 28.0321.02.

MSC:
22-XX Topological groups, Lie groups
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