On the convergence of uniform substitutions. (Sur la convergence des substitutions uniformes.) (French) JFM 28.0345.01

Lémeray, E. M.

C. R. 124, 1220-1222 (1897); Nouv. Ann. (3) 16, 306-319 (1897).

Sei \(a\) eine Wurzel der Gleichung \(f(x)=x\), \(f(x)\) in der Umgebung von \(a\) holomorph; \(a_\nu = \left(\frac{d^{\nu}f}{dx^{\nu}}\right)_{x=a}\); \(f^n(x)\) die \(n^{\text{te}}\) Iteration von \(f(x)\); \(p\) ein Vielfaches von \(n\). Damit die \(p\) ersten Ableitungen von \(f^n(x).x\) für \(x=a\) Null werden, sind \(p/n\) algebraische Relationen zwischen den \(a_\nu\) erforderlich und hinreichend. Liegt \(x\) in einer gewissen Umgebung von \(a\), so convergirt, wie bekannt, \(f(x)\) gegen \(a\), wenn \(|a_1|<1\) ist. Ist \(a_1=1\), so zeigt der Verf.: die Umgebung von \(a\) zerfällt in eine gewisse gerade Anzahl von Sectoren gleicher Winkelöffnung, die abwechselnd Convergenz- und Divergenzbereiche für den Iterationsprocess sind. Ausgenommen ist nur der Fall, dass \(f^n(x)\) identisch gleich \(x\) ist.
Die zweite Abhandlung enthält die Beweise.

Reviewer: Burkhardt, Prof. (Zürich)

MSC:

26A18	Iteration of real functions in one variable
30D05	Functional equations in the complex plane, iteration and composition of analytic functions of one complex variable

JFM Section:

Siebenter Abschnitt. Functionentheorie. Kapitel 1. Allgemeines.

Keywords:

Iteration; fixed points.