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On the operations in general and linear differential equations of infinite order. (Sur les opérations en général et les équations différentielles linéaires d’ordre infini.) (French) JFM 28.0350.02

Der Verfasser untersucht eine sehr allgemeine Kategorie von Operationen, die er Transmutationen nennt. Eine solche wird dadurch definirt, dass man jeder regulären Function von \(n\) Variabeln nach irgend einem Gesetze eine andere der nämlichen Variabeln entsprechen lässt. Ausführlich wird auf den Fall einer einzigen Variable \(x\) eingegangen. Es wird vorausgesetzt, dass die zu transmutirende Function \(u\) innerhalb eines gewiesen Gebietes regulär ist, die neue Function wird die transmutirte (transmuée) von \(u\) genannt und mit \(Tu\) bezeichnet. Eine Transmutation heisst continuirlich, wenn sie die Eigenschaft hat, dass, falls die Function \(u\) eine Grenze hat, \(\lim [Tu]=T[\lim u]\) ist; regulär, wenn die Transmutirte jeder regulären Function im allgemeinen eine reguläre Function ist; eindeutig, wenn jeder regulären Function nur eine Transmutirte entspricht. Die wichtigste Transmutation ist die additive, welche die Relation \(T(u+v)=Tu+Tv\) erfüllt. Die Untersuchung aller Transmutationen von der Eigenschaft, dass zwischen den Transmutirten der drei Functionen \(\pi_1(u,v)\), \(\pi_2(u,v)\), \(\pi_3(u,v)\), wo \(\pi_1\), \(\pi_2\), \(\pi_3\) gegebene und \(u\) und \(v\) beliebige Functionen sind, eine gegebene Relation existirt, lässt sich nämlich, wie gezeigt wird, auf die Untersuchung der additiven Transmutation zurückführen. Es gilt nun der Satz: Jede additive eindeutige, continuirliche und reguläre Transmutation kann durch eine Reihe von der Form \[ Tu=a_0u + \frac{a_1}1\frac{du}{dx} + \frac{a_2}{1.2}\frac{d^2u}{dx^2} + \cdots + \frac{a_m}{m!}u^{(m)} + \cdots \] dargestellt werden, wo \(a_0,a_1,a_2,\dots\) reguläre Functionen bedeuten. Diese sind vollständig bestimmt, wenn die Transmutirten von \(1,x,x^2,\dots\), die mit \(w_0(x)\), \(w_1(x)\), \(w_2(x)\) bezeichnet seien, bekannt sind. Die Transmutation kann man dann symbolisch schreiben: \[ Tu=w_0u + (w-x)\frac{u'}1 + (w-x)^2\frac{u''}{1.2} + \cdots + (w- x)^m\frac{u^{(m)}}{m!}, \] wo in der Entwickelung der symbolischen Potenzen die Exponenten der Potenzen von \(w\) durch Indices zu ersetzen sind. Unter den Anwendungen heben wir die auf die abgeleiteten Functionen mit beliebigem Index hervor. \(D^\alpha_xu\) (\(\alpha\) ganz, gebrochen, positiv oder negativ) ist eine additive Transmutirte von \(u\), in der \(w_m=\frac{\Gamma(m+1)}{\Gamma(m+1- \alpha)}x^{m-\alpha}\) ist. Bemerkenswert ist noch folgende symbolische Darstellung der additiven Transmutation \(Tu=f\left(x,\frac d{dx}\right)u\), wo \[ f(x,z)=a_0 + \frac{a_1}1z + \frac{a_2}{1.2}z^2 + \cdots + \frac{a_m}{m!}z^m + \cdots \] die operative Function der Transmutation genannt wird; sie ist für jeden Wert von \(x\), in dessen Umgebung die entsprechende Transmutation eine Transmutirte für jede dort reguläre Function liefert, stets eine ganze transcendente Function von \(z\) vom Geschlechte 1 oder 0. Die Eigenschaften dieses operativen Symbols finden Anwendung in der Theorie der linearen Differentialgleichungen; insbesondere wird ein Typus von solchen angezeigt, die durch elementare Processe integrirbar sind. Das Problem der Inversion einer additiven Transmutation \(Tu=v\), wo \(v\) eine gegebene reguläre Function ist, führt auf die Integration der linearen Differentialgleichungen unendlicher Ordnung, nämlich der Gleichungen von der Form \(f\left(x,\frac d{dx}\right)u=v\), wo \(f(x,z)\) eine transcendente Function in \(z\) ist. Hinsichtlich derselben werden einige Bemerkungen über die Anzahl der willkürlichen Constanten des allgemeinen Integrals gemacht, die mit der Zahl der Nullstellen der operativen Function im Zusammenhang steht. Zum Schluss wird die Ausdehnung der vorangehenden Sätze auf die Transmutation der Functionen von \(n\) Variabeln in kurzen Zügen angedeutet. Wir bemerken hier nur, dass jede additive, eindeutige, continuirliche und reguläre Transmutation in \(n\) Variabeln durch die Formel gegeben ist: \[ Tu= \alpha_{00\dots0}u + \sum\alpha_{k_1k_2\dots k_n} \frac{\partial^{k_1+k_2+\cdots+k_n}u}{\partial x_1^{k_1}\partial x_2^{k_2}\dots\partial x_n^{k_n}}. \]

MSC:

39B42 Matrix and operator functional equations
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