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On the zeros of entire functions. (Sur les zéros des fonctions entières.) (French) JFM 28.0360.01

Sind \(a_1\), \(a_2\), \(a_3\), ... die nach der Grösse geordneten Moduln der Nullstellen einer ganzen transcendenten Function von endlichem Geschlecht, so giebt es, wie man leicht erkennt, eine positive Grösse \(\varrho\) von der Eigenschaft, dass \(\sum\frac1{a_n^{\varrho+\varepsilon}}\) convergirt und \(\sum\frac1{a_n^{\varrho-\varepsilon}}\) divergirt, wie klein auch die positive Grösse \(\varepsilon\) angenommen werde. Die Grösse \(\varrho\) nennt der Verf. die ,,Ordnung” der ganzen Function. Sie steht in einer einfachen Beziehung zu der Art des Anwachsens der ganzen Function. Man bezeichne nämlich mit \(M(r)\) das Maximum, mit \(N(r)\) das Minimum der absolut genommenen Functionswerte, die den Argumenten vom absoluten Betrage \(r\) entsprechen. Die Function \(M(r)\) wächst dann mit wachsendem \(r\) wie \(e^{r^\varrho}\), und andererseits kann man eine Reihe von wachsenden Werten \(r\) finden, für welche \(N(r)> e^{-r^\varrho}\) ist. Die Thatsache, dass die Grenze für \(N(r)\) der reciproke Wert der Function \(e^{r^\varrho}\) ist, welche das Anwachsen von \(M(r)\) angiebt, lässt sich auf Functionen von unendlichem Geschlecht ausdehnen. In Bezug auf die letzteren ist die folgende Bemerkung wesentlich. Man pflegt die Weierstrass’schen Convergenzfactoren im Falle eines unendlichen Geschlechtes immer so zu wählen, dass der Exponent des \(n^{\text{ten}}\) Factors vom Grade \(n\) ist, was jedenfalls angeht, weil die Summe \(\sum\frac1{a_n^n}\) unter allen Umständen convergirt. Borel bemerkt nun, dass stets schon \(\sum\frac1{a_n^{\lg n}}\) convergent ist, so dass der Grad \(n\) durch einen wesentlich kleineren ersetzt werden kann. Mit Hülfe der allgemeinen Sätze, die der Verf. im ersten Teil der Arbeit abgeleitet hat, giebt er dann im zweiten Teile den Beweis für die Verallgemeinerungen eines Picard’schen Satzes, über welche wir im letzten Bande dieses Jahrbuches (S. 321, JFM 27.0321.02) berichtet haben. Insbesondere wird der Beweis des Satzes, nach welchem die Gleichung \(e^{G_1(z)}+e^{G_2(z)}=1\) durch ganze transcendente Functionen \(G_1(z)\), \(G_2(z)\) nicht erfüllbar ist, ausser wenn \(G_1(z)\) und \(G_2(z)\) sich auf Constanten reduciren, ausführlich dargestellt.

MSC:

30D20 Entire functions of one complex variable (general theory)

Citations:

JFM 27.0321.02
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References:

[1] Journal de mathématiques pures et appliquées 1893.
[2] Il y aurait lieu, dans ce cas, d’écrire le produit des facteurs primaires comme si la fonction était de genrep={\(\rho\)}, même si elle était de genrep.
[3] On sait d’ailleurs que ce maximum et ce minimum sont atteints pour une valeur dez dont le module estr.
[4] Notre démonstration légèrement modifiée prouverait même qu’il n’est pas possible que cette inégalité soit vérifiée dans une série d’intervalles [r 1<r<r2] tels que l’étendue totale de ceux de ces intervalles qui sont compris entre o etR reste, lorsqueR croît, constamment supérieure àkR,k étant un nombre positif quelconque. Ce point aura de l’importance plus loin.
[5] Nous écartons le cas où l’on trouverait des valeurs dex aussi grandes que l’on veut et telles queG>F et aussi des valeurs dex aussi grandes que l’on veut et telles queG<F. Ce cas, dont nous dirons un mot plus loin à un autre point de vue, mériterait d’être étudié avec soin.
[6] On voit qu’il ne résulte pas de cette définition que logG(x) et logF(x) soient du même ordre de grandeur lorsqueF(x) etG(x) le sont. On pourrait convenir queF(x) etG(x) sont du même ordre du grandeur si, au lieu des inégalités écrites dans le texte, l’on a \(\left[ {\log G\left( x \right)} \right]^{1 - \varepsilon }< \log F\left( x \right)< \left[ {\log G\left( x \right)} \right]^{1 + \varepsilon } \) on même des inégalités analogues avec des signeslog superposés un nombre quelconque fini de fois. Ces définitions permettraient de simplifier certains des raisonnements qui suivent et conduiraient aux mêmes résultats généraux; mais, pour plus de netteté, nous nous en tiendrons à la définition donnée dans le texte.
[7] Le fait que {\(\alpha\)} est une fonction dex au lieu d’être une constante n’introduit pas de difficulté sérieuse.
[8] Ce cas se subdivise en deux principaux, celui où la fonction {\(\pi\)} (r) croît moins vite que le nombre des exposants étant limité et celui où la fonction {\(\pi\)} (r)n’est pas comparable à ces fonctions c’est à dire est alternativement plus grande et plus petite pour des valeurs indéfiniment grandes de {\(\gamma\)}. Le premier cas peut, se traiter directement et le second se ramène, soit au premier, soit à celui qui est traité dans le texte, en raisonnant comme à la page 386.
[9] Pour les plus petites valeurs, on doit considérer seulement ce qui se passe sur certains cereles; voir plus haut p. 361 et le mémoire deM. Hadamard p. 204. On verrait aisément que l’on peut exclure pour les rayons de ces cercles compris dans un intervalle donné une fraction aussi petite que l’on veut de cet intervalle.
[10] Pour être tout à fait exact, nous devons dire que ce sont les logarithmes de ces facteurs qui sont au plus du même ordre de grandeur log |G(z)|.
[11] La continuité des fonctionM etM’ permet d’exclure le cas où l’inégalité (3) serait vérifiée pour des valeurs der formant une suite discontinue, mais présentant des points dans tout intervalle.
[12] Nous avons jugé inutile d’écrire l’inégalité évidenterM’(r)>M(r) 0.
[13] Voir plus haut, en ce qui concerne la relation entre les plus grandes valuers du module deH 1 2 et les plus grandes valeurs positives de sa partie réelle. Pour être tout à fait rigoureux il faudrait remplacer [{\(\mu\)}(r)]2 par [{\(\mu\)}(r)]2; mais cela n’a aucune importance.
[14] Au lieu du genre {\(\mu\)} nous pourrions introduire l’ordre {\(\rho\)}; la proposition serait plus précise lorsque {\(\rho\)} n’est pas entier.
[15] M. Picard, en supposant que {\(\phi\)} soit une constante et un polynome avait montré que toutes les équations (1), sauf une au plus, ont une infinité de racines. (Annales de l’Ecole Normale 1880).M. Picard avait d’ailleurs étendu ce théorème au cas d’un point singulier essentiel isolé, que nous avons laissé complètement de côté ici. Voir une note intéressante deM. Hadamard, Comptes Rendus, mai 1896.
[16] Il ne pourrait y avoir de difficulté que pour la différenceH 1; il suffit d’écrireK 1eH 1+K2=K3e 1, pour reconnaître que siH 1 ne dépassait pas l’ordre de grandeur requis, l’ordre de grandeur du premier membre serait inférieur à celui du second.
[17] Hermite, cours d’analyse, 4e édition p. 182.
[18] On peut aussi déduire l’ordre de la fonctionf[{\(\phi\)}(z)] de la connaissance des ordres des fonctions entièresf et {\(\phi\)}.
[19] Les ordres apparents peuvent ne pas être comparables, alors chacun d’eux peut être regardé comme maximum, au point de vue des conséquences indiquées dans le texte.
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