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Die kubische Involution und die Dreiteilung und Transformation dritter Ordnung der elliptischen Functionen. (German) JFM 28.0396.01
Als Aufgabe seiner Abhandlung bezeichnet Bolza, den Zusammenhang zwischen der kubischen Involution und der Theorie der elliptischen Functionen zu untersuchen, der durch das Schliessungsproblem für \(n=3\) begründet wird. Stellt man nämlich die Variable \(x_1\) : \(x_2\) einer kubischen Involution durch die Punkte eines ,,Normalkegelschnittes” dar, so umhüllen die Seiten der Dreiecke, deren Ecken Tripel der Involution darstellen, einen zweiten festen Kegelschnitt, den ,,Involutionskegelschnitt”. ,,Im ersten Teil werden nur rationale Combinanten und dem entsprechend nur elliptische Functionen und Modulfunctionen der ersten und dritten Stufe behandelt. Nach Zusammenstellung der nötigen Formeln aus der Invariantentheorie der kubischen Involution (§ 1) werden die elliptischen Functionen eingeführt, und mit ihrer Hülfe wird die Aufgabe gelöst: Alle kubischen Involutionen mit gegebenen Verzweigungselementen zu bestimmen (§ 2); hierauf werden die rationalen Invarianten der Involution als elliptische Modulformen dargestellt, wobei sich ein überaus einfacher Zusammenhang zwischen den beiden Clebsch’schen Fundamentalinvarianten \(J\), \(\Omega\) und den Fricke’schen Modulformen dritter Stufe \(\xi_3\), \(\xi_4\) ergiebt (§ 3).
In den nächsten beiden Paragraphen wird sodann die Theorie der kubischen Involution auf die Transformation dritter Ordnung der elliptischen Functionen angewandt und gezeigt, dass die zu zwei conjugirten Involutionen gehörigen elliptischen Functionen durch eine Transformation dritter Ordnung verbunden sind. Im zweiten Teile werden dann auch gewisse irrationale Combinanten und dem entsprechend elliptische Functionen und Modulformen zweiter und sechster Stufe in den Kreis der Betrachtung gezogen. Als Ausgangspunkt wird dabei die Transformation des Normalkegelschnittes und des Involutionskegelschnittes auf ihr gemeinsames Polardreieck gewählt, wodurch zugleich die geometrische Bedeutung der betrachteten irrationalen Invarianten hervortritt (§ 6). Die wichtigste derselben ist die im Folgenden mit \(\zeta\) bezeichnete absolute Invariante; sie ist, bezogen auf die rationale absolute Invariante \(\frac{27\Omega}{2J^3}\), die kanonische Diederirrationalität für \(n=3\); durch sie lassen sich die Doppelverhältnisse der Wurzeln der fünf für die Involution fundamentalen biquadratischen Formen \[ \vartheta,\,3H_\vartheta\pm J_\vartheta,\,6H_\vartheta\pm J_\vartheta \] rational ausdrücken (§ 7). Als elliptische Modulfunction erweist sich \(\zeta\) als nicht wesentlich verschieden von der von Fricke mit \(y\) bezeichneten Modulfunction sechster Stufe (§ 8).”
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References:
[1] Em. Weyr, Über die projectivischen Beziehungen zwischen den singulären Elementen einer cubischen Involution, Wiener Berichte Bd. 73, (1876), pag. 654. · JFM 09.0430.03
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