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Das Apollonische Problem. (German) JFM 28.0518.06
Die grösste Gruppe, nicht nur von Punkt-, sondern auch von Berührungstransformationen, die Kreise in Kreise und jede der (acht) Lösungen des Apollonischen Problems in eine Lösung der transformirten Aufgabe verwandelt, ist die Gruppe aller Punkttransformationen, die überhaupt Kreise in Kreise überführen. Diese aus zwei continuirlichen Scharen \(G_6\), \(H_6\) bestehende sechsgliedrige Gruppe wird durch die Aufeinanderfolge beliebig vieler Inversionen erzeugt. Der Verf. fordert daher für die Apollonische Aufgabe (und ähnliche), die bei der algebraischen oder constructiven Lösung zu verwendenden Hülfsmittel so einzurichten, dass sie gegenüber der genannten ,,Gruppe der Inversionen” die Invarianteneigenschaft haben. Ferner besteht er darauf, mit einem Mindestaufwand von irrationalen Operationen auszukommen, sowie der Lösung einen möglichst hohen Grad von algebraischer Allgemeinheit zu geben und dabei doch auf reelle Figuren besondere Rücksicht zu nehmen. In diesem Sinne übt er an der bekannten Gergonne’schen Lösung die Kritik: ,,An Eleganz lässt diese allerdings nichts zu wünschen übrig; sie ist aber weder invariant, noch allgemein, noch algebraisch vollständig, also wohl nicht gerade mustergültig”.
Im ersten Teil der Abhandlung (§ 2 bis § 13) wird das Problem algebraisch studirt. In einer Einleitung (§ 2) werden die notwendigsten Hülfssätze und Hülfsformeln über lnversionsinvarianten von Kreisen zusammengestellt. Die Gleichung eines Kreises \(K\) wird einmal in rechtwinkligen Coordinaten \(x_2:x_1\), \(x_3:x_1\) geschrieben: \[ A_0x_1^2+A_1(x_2^2+x_3^2)+2A_2x_1x_2+2A_3x_1x_2=0,\tag{1} \] andererseits in ,,tetracyklischen” Coordinaten \(X_0:X_1:X_2:X_3:\)
(2) \(C_0X_0-C_1X_1-C_2X_2-C_3X_3=0\), wo die \(X\) an die Relation (3) \(X_0^2-X_1^2-X_2^2-X_3^2=0\) gebunden sind. Die continuirliche Gruppe \(G_6\) ist dann die der eigentlichen, \(G_6\) zusammen mit \(H_6\) die der eigentlichen und uneigentlichen linearen Transformationen von (3) in sich. Eine ,,ganze” Invariante von Kreisen (Kreisformen) \(K_\alpha\), \(K_\beta\), ... gegenüber \(G_6\) ist eine solche rationale, allseitig homogene Function der \(A_{\alpha i}\), \(A_{\beta i}\), ... oder \(C_{\alpha i}\), \(C_{\beta i}\), ..., die sich nach Ausübung einer Transformation von \(G_6\) mit einem nur von den Transformationscoefficienten abhängenden Factor reproducirt.
Es giebt nur zwei Typen solcher Invarianten: \(J=(\Phi_\alpha \Phi_\beta)\) vom zweiten Grade in den \(A\), resp. \(C\), und \(J'=(\Phi_\alpha \Phi_\beta \Phi_\gamma \Phi_\delta)\) vom vierten Grade. Alle Kreisinvarianten sind ganze und rationale Functionen von Invarianten dieser beiden Arten. Zwischen beiderlei Invarianten \(J\), \(J'\) bestehen zwei irreducible Relationen, die als einziges Hülfsmittel der Rechnung fungiren. Jede Kreisvariante lässt sich dadurch in die Form bringen: \(F(J)+\Sigma J'F'(J)\) (wo \(F\), \(F'\) ganze Functionen bedeuten); beide Bestandteile dieser Summe sind die ganzen Invarianten der umfassenden Gruppe \(G_6\), \(H_6\). \((\Phi\Psi)=0\) bedeutet die Orthogonalität zweier Kreise \(\Phi\), \(\Psi\); \((\Phi_\alpha \Phi_\beta \Phi_\gamma \Phi_\delta)=0\) das Vorhandensein eines gemeinsamen Orthogonalkreises von \(\Phi_\alpha\), \(\Phi_\beta\), \(\Phi_\gamma\), \(\Phi_\delta\). Versteht man unter \(X\), \(Y\), ... veränderliche Kreise, so lässt sich jeder Kreis in der Form \((\Phi X)=0\) darstellen, d. h. als Ort seiner sämtlichen Orthogonalkreise auffassen. Covariante ist eine solche Invariante, an deren Bildung auch veränderliche Kreise \(X\), \(Y\), ... beteiligt sind. Das Apollonische Problem nimmt nunmehr die Fassung an: ,,Vorgelegt sind die Gleichungen dreier Kreise \((\Phi_1X)=0\), \((\Phi_2X)=0\), \((\Phi_3X)=0\). Gesucht ist eine irrationale Covariante der linearen Form \((\Phi_iX)\), deren verschiedene Werte, gleich Null gesetzt, die Berührungskreise einzeln darstellen”.
Nach Aufstellung der einfachsten In- und Covarianten formulirt der Verf. in § 3 (unter Adjunction einer gewissen Wurzelgrösse) eine Covariante \([X,Y]\), die bereits die Aufgabe löst, soweit es sich dabei um die Bestimmung eines einzelnen Berührungskreises handelt: das Verschwinden eines Wertes \([X,Y]\) sagt aus, dass entweder der Kreis \(X\) oder der Kreis \(Y\) zu einem Berührungskreise der Kreise \(\Phi_i\) orthogonal ist. Bei willkürlichem \(Y\) stellt also die Covariante \([X,Y]\), \(=0\) gesetzt, alle Berührungskreise dar; sie heisst daher die ,,allgemeine Lösung” des Problems; sie kann nur dann identisch verschwinden, wenn das Problem selbst unbestimmt wird. Der Hülfskreis \(Y\) ist nur darum eingeführt, um den Fall des Verschwindens einer gewissen Invariante \(\mathfrak R\) (d. h. wenn die drei Kreise \(\Phi_i\) einen Punkt gemein haben) mit zu berücksichtigen. Nimmt man dagegen von vorn herein an, dass \(\mathfrak R\neq0\), so wird das Product aus \(\mathfrak R\) und \([X,Y]\) ,,reducibel”, und \([X,Y]\) lässt sich durch eine einfachere Covariante, ,,die specielle Lösung” des Problems, ersetzen. In § 4 wird die Abhängigkeit der verschiedenen Lösungen untersucht. Die Galois’sche Gruppe \(G_{32}\) des Problems umfasst 32 Substitutionen.
Besonders wichtig ist das Verhalten der Paare, Tripel und Quadrupel von Lösungen gegenüber dieser Gruppe \(G_{32}\). Man kann zu gewissen Tripeln von Berührungskreisen wiederum, und zwar rational, die Berührungskreise bestimmen u. s. f., so dass mit der Lösung des ursprünglichen Apollonischen Problems eine unendliche Mannigfaltigkeit weiterer Probleme dieser Art miterledigt ist. Die entwickelten Formeln erweisen auch noch nach anderer Seite ihre Fruchtbarkeit (§ 5); es wird zu dem Behuf der Begriff der ,,Nebenkreise” eingeführt, die auf je zweien der Kreise \(\Phi_i\) und auf deren gemeinsamem Orthogonalkreis \(\Phi\) senkrecht stehen. Sodann wird die Beziehung zu den Formeln der sphärischen Trigonometrie (vgl. F. d. M. 25, 798, 1893, JFM 25.0798.01; JFM 25.0798.02) erörtert (§ 6), die vorauszusehen war, da man die Kreise \(\Phi_i\) als Hauptkreise einer Kugel betrachten kann; die Nebenkreise werden auf der Kugel ebenfalls zu Hauptkreisen, und ihre Ebenen bestimmen mit denen der Kreise \(\Phi_i\) zwei zu einander polare Dreifache. Im Anschluss hieran und gestützt auf frühere Untersuchungen (I. c.) stellt der Verf. in § 7 die wichtigsten der im Problem auftretenden Kreisinvarianten durch elliptische Functionen zweier Argumente dar, resp. durch Quadratwurzeln aus solchen. Nunmehr wendet sich der Verf. zum weiteren Ausbau der Apollonischen Figur. Dahin gehören (§ 8) die acht Steiner-Plücker’schen ,,Isogonalkreise” von vier Kreisen, die nämlich vier gegebene Kreise \((\Phi_i X)=0\) unter gleichen Winkeln schneiden. Weiter kann man (§ 9) zu drei Kreisen im allgemeinen auf 14 Arten einen weiteren Kreis fügen, der mit den gegebenen zusammen vier gemeinsame Berührungskreise hat; es giebt zwei gänzlich verschiedene Figuren von solchen vier Kreisen, von denen die eine als ,,Hart’sche Kreisfigur” bekannt ist. Hierbei gelangt der Verf. zu einer bemerkenswerten Ausdehnung des Feuerbach’schen Satzes auf Kreisbogendreiecke (§ 10, 11). Indem wir weitere Ergänzungen übergehen, wenden wir uns dem zweiten Teile der Abhandlung (§ 14 bis § 18) zu, der constructiven Lösung des Problems. Da die Eingangs genannten Forderungen die elementaren Constructionen ,,mit Lineal und Zirkel” ausschliessen, so wird, ähnlich wie in der Mascheroni’schen Geometrie, nur mit Kreisen operirt, jedoch wird der Mittelpunkt des Kreises nicht benutzt, und zudem wird ein sorgfältiger Unterschied zwischen ,,linearen” und ,,quadratischen” Constructionen gemacht. Die linearen Constructionen beruhen auf den beiden Postulaten: 1) Man kann drei (reelle) Punkte durch einen Kreis verbinden. 2) Wenn zwei Kreise sich in einem bekannten Punkte schneiden, so ist auch der andere Schnittpunkt dieser Kreise bekannt. Der Verf. legt weiter ein besonderes Gewicht auf die Unterscheidung zwischen Kreisen, von denen man einzelne Punkte kennt, und solchen, bei denen nur die zugehörige Inversion als bekannt angesehen wird. Die quadratischen Constructionen lassen sich auf die Form bringen: ,,Zwei Kreise mit einander zum Durchschnitt zu bringen”. Das Apollonische Problem wird nunmehr (§ 15) so formulirt: ,,Gegeben sind drei Kreise durch die mit ihnen verbundenen Inversionen. Man soll durch lineare und möglichst wenige quadratische Constructionen die Berührungskreise finden”. Gerade der Umstand, dass hierbei die gegebenen Kreise nicht als von vorn herein punktweise bekannt gelten, wird als eine durchaus notwendige Verallgemeinerung der üblichen Fassung betont.
Die Lösung geschieht in drei Schritten (§ 16). Der erste besteht in der Construction der Potenzkreise der gegebenen Kreise \(\Phi_i\). Der zweite Schritt ist die Construction der ,,Plücker’schen” Kreise, die aus den gegebenen die Berührungspunkte je zweier ,,copulirter” Apollonischer Kreise orthogonal ausschneiden, und die hieraus sich ergebende Construction dreier Lösungspaare. Drittens endlich wird das vierte Lösungspaar aus den drei ersten abgeleitet.
Die definitive Lösung des Apollonischen Problems erfordert, wenn man auch die Nebenkreise mit berücksichtigt, im ganzen sechs quadratische Constructionen. Daran schliesst sich eine Construction der Hart’schen Kreisfigur.
Am Schlusse überträgt der Verf. durch eindeutige Transformation das Apollonische Problem auf äquivalente Berührungsaufgaben.
Soviel über die vorliegende ungemein anregende und inhaltsreiche Abhandlung. Der Referent möchte nur den Wunsch äussern, dass der Verf., um seine Behandlungsweise auch weiteren Kreisen zugänglich zu machen, eine Neubearbeitung unternehmen möge, die sich auf das Notwendigste beschränkt, aber dafür die Grundlagen ausführlicher erörtert.

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