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Sur la déformation du paraboloïde et sur quelques problèmes qui s’y rattachent. (French) JFM 28.0566.04

Ann. de l’Éc. Norm. (3) 14, 45-98 (1897); auch Thèse. Paris: Gauthier-Villars et Fils (1897).
Thybaut benutzt folgende Congrnenz: \(x,y,z\) seien die Ableitungen der cartesischen Coordinaten \(\xi,\eta,\zeta\) einer Fläche nach \(u\) und zugleich die Coordinaten eines Punktes \(A\). Durch diesen zieht Thybaut eine Parallele zur Tangente in \(\xi,\eta,\zeta\) an die Curven \(u=\) const. Diese steht naturgemäss in engem Zusammenhange mit der Tangentialcongruenz der Linien \(u=\) const. auf der Fläche, und ihre sphärische Abbildung ist dieselbe, die Weingarten in der Preisschrift ,,Sur la déformation des surfaces” benutzt hat. Verf. bestimmt zunächst die notwendigen und hinreichenden Beziehungen, welche zwischen seiner Congruenz und der Fläche stattfinden müssen; er ersetzt also gewissermassen die Codazzi-Gauss’schen Formeln für die zweite Fundamentalform durch die seiner Congruenz. Die Specialisirung auf das Paraboloid ergiebt sich dabei ziemlich einfach; zugleich aber findet Verf. zu jeder auf das Paraboloid abwickelbaren Fläche zwei Isothermflächen. Für das specielle Paraboloid, dessen Erzeugende durch eine Tangente des unendlich fernen Kugelkreises gehen, und dessen Biegungen bekannt sind, ergiebt sich damit eine neue Klasse von Isothermflächen mit zwei willkürlichen Functionen, die der Verf. im dritten Teil der Arbeit bestimmt.
Dass durch Transformationen von Differentialgleichungen oft scheinbar heterogene Probleme in Beziehung treten, ist ja in der Flächentheorie bei allen neueren Untersuchungen zu sehen. Während aber im allgemeinen nur die Lösbarkeit eines Problems von der eines anderen, ebensowenig gelösten abhängt, giebt hier Verf. eine ganze Reihe hübscher Probleme an, die lösbar sind und sich hauptsächlich auf Congruenzen und ihre Bestimmung beziehen. Sie haben Beziehungen zu Minimalflächen, zur isotherm-sphärischen Abbildung, zu conjungirten Netzen mit gleichen Invarianten, zur Theorie der ,,douze surfaces” von Darboux etc.
Unter den neuen Isothermflächen findet Verf. mit einfachen Mitteln die algebraischen heraus. Notwendig und hinreichend dafür ist, dass die beiden, von ihm verwendeten, willkürlichen Functionen algebraisch sind. Mit diesem eleganten Theorem schliesst die umfangreiche und anregende Arbeit.

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Full Text: DOI Numdam EuDML