×

Sur les systèmes orthogonaux et les systèmes cycliques. Chap. I, II. (French) JFM 28.0589.02

Der erste Teil der Arbeit enthält eine Darlegung der allgemeinen Eigenschaften der orthogonalen und der cyklischen Systeme, der zweite soll Anwendungen bringen und auf Sonderfälle näher eingehen.
Die eingeführten Elemente hängen stets von zwei Verhältnissen ab, es sind die Netze und die Congruenzen.
Sind die Coordinaten \(x_1,x_2,\dots,x_n\) eines Punktes Functionen von zwei Parametern, so beschreibt der Punkt eine Fläche. Auf dieser erhält man, den Parametern entsprechend, zwei Scharen von Curven, die der Verfasser ein Curvensystem nennt, so dass durch jeden Punkt der Fläche zwei dieser Curven gehen. Ein solches Curvensystem heisst Netz, wenn die \(n\) Coordinaten \(x_1,\dots,x_n\) Lösungen einer Gleichung der Form \[ \frac{\partial^2\theta}{\partial u\partial v} = P\frac{\partial\theta}{\partial u} + Q\frac{\partial\theta}{\partial v} \] sind, wo \(P\) und \(Q\) Functionen von \(u\), \(v\) sind. Congruenz nennt der Verfasser die zweifach unendlichen Systeme von Geraden, welche die beiden Curvenscharen berühren. Ein Netz erhält den Namen Netz \(O\) (orthogonal), wenn die Tangenten an die Curven des Netzes auf einander senkrecht stehen; die Normalen zu einem Netze \(O\) bilden eine Congruenz \(O\).
Das sind die Elemente, auf welche sich die uns vorliegenden beiden ersten Kapitel der Arbeit beziehen.
Das erste Kapitel bringt die allgemeinen Eigenschaften von Netzen und Congruenzen, die zum Teil neu sind.
Das zweite Kapitel ist der Theorie der Netze und Congruenzen \(O\) gewidmet. Das verbindende Glied zwischen diesen Theorien bildet die orthogonale Determinante \(|x_i^k|(i,k=1,\dots,n)\), deren Elemente den Bedingungen der Orthogonalität genügen.
Zum tieferen Studium dieser Determinante führt der Verfasser in Verallgemeinerung einer von Darboux für den gewöhnlichen Raum gegebenen Definition Differentialgrössen \(p_{kl},q_{kl}\) ein, welche in dem besonderen Falle des Rotationsproblems die Rotationscomponenten nach den Axen des beweglichen Systems liefern, und stellt weiter Differentialgleichungen erster Ordnung für die Elemente \(x_i^k\) auf. Hierzu sei bemerkt, dass sich jene Verallgemeinerung auf den Raum von vier Dimensionen sowie das dazugehörige vollständige System von Differentialbeziehungen erster Ordnung in einer Arbeit des Referenten (J. für Math. 118, 229; vergl. auch American J. 22) findet.

PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI Numdam EuDML