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Ueber die Theorie des Kreisels. Heft I. Die kinematischen und kinetischen Grundlagen der Theorie. (German) JFM 28.0658.04
Leipzig: B. G. Teubner. IV u. 196 S. gr. \(8^\circ\) (1897).
Es handelt sich in dem vorliegenden Werke darum, an einem allgemein interessirenden, concreten Probleme die Begriffe und Sätze der theoretischen Mechanik zu erläutern. Ein Student, der ein Colleg über Mechanik gehört hat, nimmt mit dem Studium des Buches eine von lebensvollen Anschauungen ausgehende Wiederholung der ganzen ihm vorgetragenen Mechanik der starren Körper vor. Denn nach dem Plane des Buches wird stets die Anschauung vorangestellt; dann erst folgt die analytische Fassung und Behandlung, und endlich werden alle analytischen Ergebnisse wieder möglichst anschaulich gedeutet. Als Muster einer solchen Behandlung gilt seit lange die klassische ,,Théorie nouvelle de la rotation des corps” von Poinsot (1834).
Die Bewegung eines starren Körpers um einen festen Punkt ist eines der grossen Probleme, an welche sich die Entwickelung der Mechanik knüpft. Dieses Problem ist es aber, welches in dem vorliegenden Werke behandelt wird; denn der volkstümliche Name des Kreisels ist nur gewählt, um an eine geläufige Vorstellung zu erinnern. Nicht das mit seiner Spitze auf horizontaler Ebene gleitende Spielzeug ist gemeint; sondern man hat sich z. B. den ,,Kreisel” in allgemeinster Gestalt als Symmetriekörper um eine Axe zu denken, die in eine Spitze ausläuft. Diese Spitze ist aber gezwungen, in einem festen Punkte der Unterlage zu bleiben. Oder aber, mathematisch gesprochen, es wird die Drehung eines starren, schweren, symmetrisch um eine Axe gelagerten Körpers um einen festen Punkt seiner Axe erforscht, ein Problem, das bezüglich der Rotationskörper seit der Mitte unseres Jahrhunderts zu wiederholten Malen behandelt worden ist, und dessen analytische Lösung von den elliptischen Transcendenten abhängt. Unter den lebenden Mathematikern hat besonders Greenhill dieser Frage auch noch in jüngster Zeit (1895 und 1896) umfangreiche und ergebnisvolle Arbeiten gewidmet.
Die zusammenfassende, neue Bearbeitung dieses Themas soll in drei Heften erscheinen. Das Referat bezieht sich nur auf das erste Heft; das zweite, im Jahre 1898 erschienene wird im nächsten Jahrgange besprochen werden (siehe JFM 29.0623.02). Da das Buch auch für solche Mathematiker und Physiker verständlich sein soll, welche der mathematischen Forschung ferner stehen, so sind eingehendere, specifische Kenntnisse aus der analytischen Mechanik und aus der Functionentheorie nicht vorausgesetzt worden, und das Werk dürfte mit seiner hieraus sich ergebenden behaglichen Breite einem grösseren Leserkreise um so mehr willkommen sein, als ja die Erklärung der Präcession der Nachtgleichen und die auffälligen und verwickelten Erscheinungen der Gyroskope mit der behandelten Frage in engstem Zusammenhange stehen. Dagegen können die gelegentlich gemachten Excurse sehr wohl zu einer ersten, orientirenden Einführung in manche Gebiete der Mathematik dienen, wie in die Theorie der elliptischen Functionen und in die höheren Partien der Mechanik allgemeiner Systeme. Aus dem vorliegenden Hefte ist besonders der Schlussparagraph des ersten Kapitels hervorzuheben, der kurz die ersten Begriffe der Theorie der Quaternionen erläutert und die Ansichten der Verfasser über die Wertschätzung dieses Instrumentes der Forschung kundgiebt.
Von den drei Kapiteln, in welche das erste Heft zerfällt, behandelt das erste die Kinematik des Kreisels; das zweite enthält die Einführung in die Kinetik (Statik und Impulstheorie); das dritte entwickelt die Euler’schen Gleichungen und giebt weitere Ausführungen zur Kinetik des Kreisels. Der veröffentlichte Abschnitt bringt also die grundlegenden Betrachtungen über die Principien der Theorie, allgemein über die Principien der Mechanik. Indem das erste Kapitel die wesentlichen Erörterungen über die Bewegung eines starren Körpers vom kinematischen Gesichtspunkte anstellt, schafft es nach einer vorgängigen, anschaulich geometrischen Betrachtung die analytische Darstellung der Drehungen um einen festen Punkt vermittelst eines Formelapparates in complexen Grössen, die sofort nach ihrer Bedeutung und symmetrischen Anordnung untersucht werden und dadurch ihren Zusammenhang mit der Quaternionenrechnung erweisen müssen.
Aus dem zweiten Kapitel ist besonders die Einführung des Impulsbegriffes zu erwähnen, durch den die Darstellung der Begriffe und die Fassung der Sätze eine ungemeine Anschaulichkeit und Einfachheit gewinnen. Beim einzelnen Massenpunkte ist der Impuls das Product aus Masse und Geschwindigkeit, also nichts anderes als die sogenannte Bewegungsgrösse, und kann durch eine Strecke von bestimmter Grösse und Richtung, also einen ,,Vector”, dargestellt werden. Beim Kreisel wird unter dem Impulse entsprechend diejenige Stosskraft verstanden, welche im Stande ist, den Kreisel aus dem Zustande der Ruhe in den jeweiligen Bewegungszustand momentan überzuführen. Dieser Impuls wird gleichfalls durch einen Vector repräsentirt, der sich aus den Trägheitsmomenten des Körpers und aus der jeweiligen Rotationsgeschwindigkeit berechnet. Sowie der Vector der Rotationsgeschwindigkeit nach Poinsot den kinematischen Zustand des Kreisels am einfachsten beschreibt, so charakterisirt der Vector des Impulses den kinetischen (oder dynamischen) Zustand am einfachsten. Durch die Einführung des Impulsbegriffes lassen sich die Bewegungsgesetze des Kreisels fast ebenso einfach aussprechen wie die des einzelnen Massenpunktes. Für einen kräftefreien Massenpunkt bleibt der Impuls nach Richtung und Grösse im Raume constant (Trägheitsgesetz); für den kräftefreien, d. h. im Schwerpunkt unterstützten Kreisel bleibt ebenso der Impuls nach Richtung und Grösse im Raume constant. Diese letztere äussere fasst einfach die drei Flächensätze zusammen. Wirken äussere Kräfte, so setzt sich beim einzelnen Massenpunkte der vorhandene Impuls mit dem von den äusseren Kräften herführenden Zusatzimpulse nach dem Satze des Kräfteparallelogramms zusammen. Dasselbe Gesetz überträgt sich wörtlich auf den von äusseren Kräften beeinflussten Kreisel. Diese einfachen Sätze geben vollständig den Inhalt der Differentialgleichungen der Kreiselbewegung (in der Euler’schen oder Lagrange’schen Form) wieder. Sie ermöglichen, namentlich bei dem symmetrischen Kreisel, d. h. dem Kreisel mit zwei gleichen Hauptträgheitsmomenten mancherlei Fragen ohne irgend welche Rechnung durch rein anschauliche, elementar-geometrische Betrachtungen zu beantworten. — Ferner möge noch auf den Begriff des Deviationswiderstandes hingewiesen werden. Hierunter wird derjenige Widerstand verstanden, den der Kreisel einer willkürlichen, erzwungenen Bewegung entgegensetzt. Derselbe ist gleich der Aenderungsgeschwindigkeit des Impulses, oder, genauer ausgedrückt, gleich einer Componente desselben. Das Analogon dieses Begriffes beim einzelnen Massenpunkte ist die sogenannte Centrifugalkraft.
Wegen der Länge, zu welcher die Anzeige bereits gediehen ist, müssen wir uns bei der Mitteilung von Einzelheiten beschränken. Nur einige, für weitere Kreise interessante Punkte mögen noch hervorgehoben werden. Aus dem ersten Kapitel ist hierher die elementare Darstellung des Beispieles der regulären Präcession in § 6 zu rechnen. Im zweiten Kapitel ist der wichtige § 5 mit den fundamentalen Sätzen über das Verhalten des Impulsvectors beim Ablauf der Bewegung zu nennen, sowie der sehr lehrreiche Schlussparagraph mit der Erörterung über die Rotation des Kreisels um eine permanente Drehungsaxe und über die sogenannte Stabilität der Rotationsaxe eines schnell rotirenden Kreisels. Das letzte Kapitel endlich bringt in seinen letzten Paragraphen eine neue Ableitung des Deviationswiderstandes bei der regulären Präcession des symmetrischen Kreisels im Zusammenhange mit der Betrachtung der Coriolis’schen Kraft und den experimentellen Nachweis des Deviationswiderstandes beim Kreisel mit ein oder zwei Freiheitsgraden.
Das bis jetzt erst vorliegende erste Heft rechtfertigt durchaus die Erwartungen, welche man von dieser Publication hegte. Die Darstellung wird in hohem Grade den geometrischen Beziehungen gerecht, ebenso aber auch der anschaulichen Aufstellung der analytischen Formeln. Das Ganze wird eine das Alte zusammenfassende, aber auch viel Neues bringende Behandlung eines wichtigen, mechanischen Problems darstellen.

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