An universal invariant for finite groups of linear substitutions: with application in the theory of the canonical form of a linear substitution of finite period. (English) JFM 29.0114.04

Moore, E. H.

Math. Ann. 50, 213-219 (1898).

In diesen Arbeiten werden endliche lineare homogene Substitutionsgruppen arithmetisch untersucht.
In der erstgenannten Abhandlung (siehe JFM 29.0114.02) erledigt Maschke das im Titel genannte Problem mit Hülfe gewisser, von R. Lipschitz (F. d. M. 19, 139, 1887, JFM 19.0139.01) behufs Aufstellung eines Kriteriums für die Endlichkeit der Periode einer linearen Substitution \(S\) benutzter Ausdrücke. Hiernach ergiebt sich, wenn \(x_i'=\sum s_{ik}x_k\) eine derartige Substitution \(S\) von der Periode \(p\) darstellt, und \(\sum=|a_{11}-\varrho,a_{12},\dots,a_{1n}|\) ihre charakteristische Function ist, dass die Gleichung \(\sum=0\) nur \(p^{\text{te}}\) Einheitswurzeln zu Wurzeln haben kann.
Hieraus fliesst, wenn noch der Rang der Determinante \(\sum\) genauer berücksichtigt wird, die Lösung der gestellten Aufgabe, d. h. \(S\) wird auf eine kanonische Form gebracht, in der nur Einheitswurzeln auftreten. Hiermit in engem Zusammenhange steht die zweite Abhandlung von Maschke (siehe JFM 29.0114.03). Hier wird gezeigt, dass (von einer einzigen Einschränkung abgesehen) jede endliche Substitutionsgruppe \(G\) in \(n\) Variabeln so transformirt werden kann, dass die Coefficienten der Gruppe “cyklotomisch”, d. i. rationale Functionen von Einheitswurzeln werden.
Die fragliche Einschränkung ist die, dass \(G\) mindestens eine Substitution \(S\) enthalten soll, für welche die Wurzeln der zugehörigen charakteristischen Gleichung alle verschieden sind. Die Methode besteht darin, dass, gemäss der ersten Abhandlung, \(S\) auf ihre kanonische Form gebracht wird: \(z_1'=\gamma_1z_1\), \(z_2'=\gamma_2z_2\), ..., \(z_n'=\gamma_nz_n\), wo die \(\gamma\) von einander verschiedene Einheitswurzeln sind. Damit geht \(G\) in eine Gruppe \(G'\) über, und in \(G'\) ist das Product von irgend zwei in derselben oder in zwei verschiedenen Substitutionen symmetrisch auftretenden Coefficienten cyklotomisch.
Indem dieses Kanonisirungsverfahren in geeigneter Weise noch einmal ausgeführt wird, gelangt der Verf. zum Ziele.
Moore löst die nämlichen Aufgaben mit Hülfe der Hermite’schen Formen (cf. J. für Math. 47, 346). Eine endliche Gruppe \(G\) von \(S(x_1,x_2,\dots,x_n)\) lässt eine positive Hermite’sche Form der \(x\) absolut invariant, die auf die kanonische Form \(\sum x_i\bar{x_i}\) gebracht werden kann. Daraus ergiebt sich zugleich, dass mit \(G\) eine holoedrisch isomorphe Gruppe von reellen \(2n\) orthogonalen \(S\) verknüpft ist. Die Untersuchung ist eine Verallgemeinerung der Methode, mittels deren F. Klein (s. F. d. M. 7, 53, 1875, JFM 07.0053.02) die endlichen binären Gruppen abgeleitet hat.
Der gewonnene Satz wird combinirt mit dem oben erwähnten über die kanonische Form einer \(S\) von endlicher Periode.
Am Schlusse wird die allgemeinste Hermite’sche Form aufgestellt, die eine \(S\) von endlicher Periode zulässt.
Bezüglich der mannigfachen Prioritätsansprüche, die von verschiedener Seite her hinsichtlich der erwähnten Sätze erhoben werden können, sei auf die Abhandlung von Moore selbst verwiesen.

Reviewer: Meyer, F., Prof. (Königsberg i. Pr.)

MSC:

20G20

Linear algebraic groups over the reals, the complexes, the quaternions

JFM Section:

Zweiter Abschnitt. Algebra. Kapitel 3. Substitutionen und Gruppentheorie, Determinanten, Elimination und symmetrische Functionen. A. Substitutionen und Gruppentheorie.

Keywords:

Canonic forms

Citations:

JFM 29.0114.02; JFM 19.0139.01; JFM 29.0114.03; JFM 07.0053.02

References:

[1]	Presented July 10, 1896, to the Mathematical Club of the University of Chicago in a paper entitled:Concerning Finite Groups of Linear Homogeneous Substitutions (University Record, vol. 1, p. 276, July 24, 1896). When the theorem was communicated in September, 1896, to Professor Klein, he called my attention to the fact that it had been stated (without proof) by Loewy:Sur les formes quadratiques définies à indétérminées conjuguées de M. Hermite (Comptes rendus..., vol. 123, pp. 168-171, July 20, 1896). [Addition of Oct. 16, 1897. With respect to the theorem I ? of theuniversal invariant ? I refer further to the report of Klein,Ueber einen Satz aus der Theorie der endlichen (discontinuirlichen) Gruppen linearer Substitutionen beliebig vieler Veränderlicher, (Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, vol. 5, p. 57, 1896), and to the closely related investigations of Valentiner (l. c., II, pp. 89, 207, 1889) and Fuchs,Ueber eine Classe linearer homogener Differentialgleichungen (Sitzungsberichte der kgl. Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, July 9, 1896, pp. 753-769), andRemarques sur une Note de M. Alfred Loewyintitulée: ?Sur les formes quadratiques définies à indeterminées eonjuguées de M. Hermite ? (Comptes Rendus, vol. 123, pp. 289-290, August 3, 1896). Fuchs in hisRemarques makes the (improper) claim that certain results of his preceding paper establish the universal invariant theorem. In fact, however, those results involve the condition (l. c. p. 768) thatat least one substitution of the group has distinct multipliers.]
[2]	Jordan: Mémoire sur les équations différentielles linéaires à intégrale algébrique (Journal für die Mathematik, vol. 84, pp. 89-215, 1878; p. 112). The reference sometimes given forn=3 to Hermite (Journal..., vol. 47, p. 312, 1854) is in error. · doi:10.1515/crll.1878.84.89
[3]	Lipschitz:Beweis eines Satzes aus der Theorie der Substitutionen (Acta Mathematica, vol. 10, pp. 137-144, 1878). · JFM 19.0139.01 · doi:10.1007/BF02393698
[4]	Kronecker:Ueber die Composition der Systeme von n2 Grössen mit sich selbst (Sitzungsberichte der kgl. Pr. Akademie der Wissenschaften zu Berlin, pp. 1081-1088, 1890; p. 1085). · JFM 22.0167.01
[5]	Ed. Weyr:Zur Theorie der bilinearen Formen Monatshefte für Mathematik und Physik, vol. 1, pp. 162-236, 1890; p. 209. · JFM 22.0141.02
[6]	Rost: Untersuchungen über die allgemeinste lineare Substitution, deren Potenzen eine endliche Gruppe bilden (p. 28; Teubner, Leipzig, 1892). · JFM 24.0138.03
[7]	Maschke:Die Reduction linearer homogener Substitutionen von endlicher Periode auf ihre kanonische Form (Mathematische Annalen, vol. 50, pp. 220-224). · JFM 29.0114.02