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Concerning a linear homogeneous group in \(C_{m,q}\) variables isomorphic to the general linear homogeneous group in \(m\) variables. (English) JFM 29.0119.02

Es bedeute \((a_{ij}): \xi_i'=\sum\limits_{j=1}^m a_{ij}\xi_j\quad(j=1,2,\dots,m)\), \[ \begin{aligned} (a_{ij}^{''}) &=(a_{ij})(a_{ij}'),\,\text{ wo}\\ a_{ij}^{''} &=\sum_{k=1}^m a_{ik}a_{kj}'\quad(i,j=1,2,\dots,m).\end{aligned} \] Ferner mögen die \(q\)-ten Minoren der Determinante \(|a_{ij}|\) nach Sylvester mit \(\begin{vmatrix} i_1&i_2&\dots&i_q\\j_1&j_2&\dots&j_q\end{vmatrix} a\) bezeichnet werden. Verf. betrachtet die lineare Substitution in \(C_{m,q}\) Variabeln \[ [a]:Y_{i_1i_2\dots i_q}' = \sum_{l_1\dots l_q}\begin{vmatrix} i_1&i_2&\dots&i_q\\l_1&l_2&\dots&l_q\end{vmatrix} aY_{l_1l_2\dots l_q}, \] worin für die Systeme \((i_1,\dots,i_q)\) und \((l_1,\dots,l_q)\) successive die \(C_{m,q}\) Combinationen der Zahlen 1, 2, ..., \(m\) zu je \(q\) zu nehmen sind und \(i_1<i_2<\cdots<i_q\), \(l_1<l_2<\cdots l_q\) ist. Aus bekannten Determinantensätzen ergiebt sich die Compositionsformel \[ [a][a']=[a'']; \] die Substitutionen \([a]\) bilden daher zugleich mit den Substitutionen \((a)\) eine Gruppe \(G_{C_{m,q}}[a]=C_{m,q}\), welche Verf. die \(q^{\text{te}}\) Componirte der Gruppe \(G_m(a)\) nennt. “Eine lineare Gruppe ist mit jeder ihrer Componirten isomorph.” Verf. stellt die infinitesimalen Transformationen von \(C_{m,q}\) auf (§§5-7) und untersucht die Eigenschaften der Pfaff’schen Invarianten von \(C_{m,2}\) (§§8-10) und \(C_{m,m-2}\) (§§16-18), insbesondere die von \(C_{m,2}\), bez. \(C_{m,m-2}\) auf dieselben ausgeübten Transformationen. Zwischen \(C_{m,q}\) und \(C_{m,m-q}\) besteht eine gewisse Reciprocität (§§11-15).

MSC:

20H20 Other matrix groups over fields
20G20 Linear algebraic groups over the reals, the complexes, the quaternions
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