A theorem on entire series. (Théorème sur les séries entières.) (French) JFM 29.0210.02

Hadamard, J.

Acta Math. 22, 55-64 (1898).

JFM 29.0210.03

MSC:

30B30

Boundary behavior of power series in one complex variable; over-convergence

JFM Section:

Fünfter Abschnitt. Reihen. Kapitel 1. Allgemeines.

Keywords:

Boundary behavior of power series

Citations:

JFM 29.0210.03

References:

[1]	Journal de M. Jordan, 4e série, tome 8; 1892; nos 35-37.
[2]	loc cit., Journal de M. Jordan, 4e série, tome 8; 1892 no 31, note.
[3]	R(u) désigne la partie réelle deu.
[4]	Il est probable qu’il ne faudrait pas chercher à démontrer la réalité des racines de l’équation (15) par des considérations de cette espèce, non plus que par toute autre voie reposant sur la décomposition de {\(\zeta\)}(u) en produit. Cette décomposition ne permet, en effet, d’utiliser que les propriétés suivantes de la fonction {\(\zeta\)}: 1o {\(\zeta\)}(u) (pourR(u)>1) est le produit de facteurs de la forme \(\frac{I}{{I - p^{ - u} }}\) , où les nombresp sont positifs et croissent indéfiniment; 2o {\(\zeta\)}(u) est uniforme dans tout le plan et égal au quotient, par \(\frac{{u\left( {u - I} \right)}}{2}\pi ^{ - \frac{u}{2}} \Gamma \left( {\frac{u}{2}} \right)\) d’une fonction entière de genre zéro par rapport à \(\left( {u - \frac{I}{2}} \right)^2 \) . Or rien ne porte à croire qu’il n’existe pas une infinité de fonctions satisfaisant aux conditions précédentes, sans avoir leurs zéros situés sur la droite \(R\left( u \right) = \frac{I}{2}\) . Bien entendu, il se peut que les racines de l’équation (15) soit réelles sans que la formule (14) soit vraie et sans même que son premier membre ait un sens.