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On the singularities of Taylor series. (Sur les singularités des séries de Taylor.) (French) JFM 29.0210.03

Wenn die beiden Maclaurin’schen Reihen \(f(z)=a_0+a_1z+\cdots+a_mz^m+\cdots\) und \(\varphi(z)=b_0+b_1z+\cdots+b_mz^m+\cdots\) innerhalb der um den Nullpunkt mit den Radien \(k\) und \(l\) beschriebenen Kreise convergent sind und die singulären Punkte \(\alpha_\mu\,(\mu=1,2,\dots,m)\) und \(\beta_\nu\,(\nu=1,2,\dots,n)\) haben, so kann die Reihe \(\psi(z)=a_0b_0+a_1b_1x+\cdots+a_mb_mx^m\) keine anderen singulären Punkte als \(\alpha_\mu\beta_\nu\) haben.
Diesen von Hadamard (siehe JFM 29.0210.02) aufgestellten Satz vervollständigt Borel durch die folgenden Sätze:
Die Natur eines singulären Punktes \(\alpha\beta\) der Reihe \(\psi\) hängt nur von der Natur der singulären Punkte \(\alpha\) und \(\beta\) ab. (Eine Ausnahme kann eintreten, wenn \(\alpha\beta=\alpha'\beta'\) ist.)
Sind die Functionen \(f\) und \(\varphi\) eindeutig in der Umgebung der Punkte \(\alpha\) und \(\beta\), so ist auch die Function \(\psi\) in der Umgebung von \(\alpha\beta\) eindeutig.
Sind \(\alpha\), \(\beta\) Pole \(p^{\text{ter}}\), \(q^{\text{ter}}\) Ordnung, so ist \(\alpha\beta\) ein Pol \((p+q-1)^{\text{ter}}\) Ordnung.
Ist \(\alpha\) ein einfacher Pol von \(f\), so ist die Art des singulären Punktes \(\alpha\beta\) von \(\psi\) (bis auf einen constanten Factor) dieselbe wie diejenige von \(\beta\) in \(\varphi\).

MSC:

30B30 Boundary behavior of power series in one complex variable; over-convergence

Citations:

JFM 29.0210.02