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Sur les points singuliers des équations différentielles. (Swedish) JFM 29.0275.01
Stockh. Öfv. 55, 69-85, 139-151, 171-188, 635-658 (1898).
In den Untersuchungen über die Differentialgleichung \[ \frac{dx}X=\frac{dy}Y,\tag{1} \] wo \(X\) und \(Y\) gewöhnliche Potenzreihen von \(x\) und \(y\) sind, haben Briot und Bouquet zum ersten Mal das Studium derjenigen Integralcurven in Angriff genommen, welche durch eine gemeinschaftliche Nullstelle von \(X\) und \(Y\) gehen. Sie haben gezeigt, dass man durch eine Methode, welche der Puiseux’schen in der Theorie der algebraischen Functionen entspricht, das Studium dieser Integralcurven in ziemlich allgemeinen Fällen auf dasjenige für Gleichungen von der Form \[ x^n\frac{dy}{dx}=ay^m[1-yf(y)]+x\psi(x,y)\tag{2} \] (\(f\) und \(\psi\) sind gewöhnliche Potenzreihen) reduciren kann.
Bezüglich dieser Gleichung sind ihre Untersuchungen ergänzt durch die von Poincaré und Picard, und zwar zu einer vollständigen Erledigung der Frage dieser Integralcurven im Falle \(n=m=1\). Der allgemeine Fall war dagegen nicht erledigt.
Der Verf. tritt nun in diese Forschung ein mit Beschränkung auf die reellen Integrale.
In der ersten Abhandlung behandelt er die Gleichung (2) im Falle \(n>1\), \(m=1\). Diese kann dann geschrieben werden: \[ x^n\frac{dy}{dx}=ay-x\varphi(x)-yf(x,y).\tag{3} \] Nachdem zuerst die Frage für die Gleichung \[ x^n\frac{dy}{dx}=ay + F(x) \] durch die Betrachtung des bekannten Ausdrucks des Integrals erledigt ist, wird sie für die Gleichung (3) mittels der Methode der successiven Annäherungen beantwortet. Hierbei ist das System der approximirenden Gleichungen: \[ \begin{aligned} x^n\frac{dy_1}{dx} &= ay_1-x\varphi(x),\\ x^n\frac{dy_n}{dx} &= ay_n-x\varphi(x)-y_{n-1}f(x,y_{n- 1})\qquad(n=2,3,\dots).\end{aligned} \] In der zweiten Abhandlung wird (2) für den Fall \(n=1\), \(m>1\) behandelt. Die qualitative Bestimmung der Integrale wird durch eine Methode bewirkt, welche die Frage auf die vorige (\(m=1\), \(n>1\)) zurückführt. Unter quantitativem Gesichtspunkte wird die Frage mittels Anwendung successiver Annäherungen untersucht.
In der dritten Abhandlung wird die Gleichung (2) im allgemeinen mittels einer geometrischen Methode vom qualitativen Gesichtspunkte aus behandelt.
Die vierte Abhandlung ist dem Studium der Reduction der Gleichung (1) gewidmet.
Die oben genannte Methode von Briot und Bouquet ist nicht immer ausführbar, und auch in dem Falle, wo die Reduction ausführbar; ist, haben sie keine Methode gegeben, um zu bestimmen, oh man alle Integrale, die durch den Nullpunkt gehen, erhalten kann.
Der Verf. giebt hier eine neue, allgemeine Reductionsmethode (welche analog ist der von Weierstrass in der Theorie der algebraischen Functionen angewandten), durch welche das Studium der genannten Integrale von (1) auf dasselbe Studium in Bezug auf mehrere Gleichungen von der Form (2) zurückgeführt wird, wenn eine der Zahlen \(m\) oder \(n\) gleich 1 ist (cf. die vorangehenden Abschnitte).
Wenn es wenigstens eine Integralcurve giebt, die durch den Nullpunkt geht und die eine bestimmte Tangente besitzt, so liefert diese Reductionsmethode alle Integrale, die durch den Nullpunkt gehen.