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Ueber die Integration simultaner linearer Differentialgleichungen durch bestimmte Integrale. (German) JFM 29.0289.01
Es wird gezeigt, dass die Methode der Integration linearer Differentialgleichungen durch bestimmte Integrale auf Systeme simultaner linearer Differentialgleichungen übertragen werden kann. Aus der Reihe der hierfür entwickelten Sätze führen wir zur Charakterisirung der Methode den ersten an: Bilden \(\varphi(x)\) und \(\psi(x)\) ein System von Uebungen der simultanen Differentialgleichungen \[ \left\{\begin{aligned} \sum_{\nu=0}^mf_\nu\left(-\frac d{dx}\right)x^\nu\varphi + \sum_{\nu=0}^ng_\nu\left(-\frac d{dx}\right)x^\nu\psi &=0,\\ \sum_{\nu=0}^{m'}F_\nu\left(-\frac d{dx}\right)x^\nu\varphi + \sum_{\nu=0}^{n'}G_\nu\left(-\frac d{dx}\right)x^\nu\psi &=0,\end{aligned}\right.\tag{1} \] und ist der Integrationsweg \((x)\) so gewählt, dass die Bedingungen \[ \int_{(x)}\frac d{dx}[f(e^{ux},\varphi) + g(e^{ux},\psi)] =0, \] \[ \int_{(x)}\frac d{dx}[F(e^{ux},\varphi) + G(e^{ux},\psi)] =0 \] erfüllt werden, wo \(f(\chi,\varphi)\), \(g(\chi,\varphi)\), \(F(\chi,\varphi)\), \(G(\chi,\varphi)\) wohl definirte, in \(\chi\) und \(\varphi\) bilineare Differentialausdrücke bezeichnen, so bilden \[ \varphi(u) = \int_{(x)}e^{ux}\varphi(x)dx,\quad\psi(u) = \int_{(x)}e^{ux}\psi(x)dx \] ein System von Lösungen der simultanen Differentialgleichungen \[ \left\{\begin{aligned} \sum_{\nu=0}^mf_\nu(u)\frac{d^\nu}{du^\nu}\varphi + \sum_{\nu=0}^ng_\nu(u)\frac{d^\nu}{du^\nu}\psi &=0,\\ \sum_{\nu=0}^{m'}F_\nu(u)\frac{d^\nu}{du^\nu}\varphi + \sum_{\nu=0}^{n'}G_\nu(u)\frac{d^\nu}{du^\nu}\psi &=0,\end{aligned}\right.\tag{2} \] Umgekehrt lässt sich das System (1) durch Lösungen von (2) mittels bestimmter Integrale integriren.

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References:
[1] Über die Integration partieller linearer Differentialgleichungen durch vielfache Integrale. · JFM 29.0317.01
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