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Sur l’existence des fonctions intégrales d’un système d’équations aux dérivées partielles. (French) JFM 29.0299.01

Auf einfacherem Wege als Frau von Kowalevski sucht der Verf. den Existenzbeweis der Integrale partieller Differentialgleichungssysteme zu geben.
Zunächst wird gezeigt, dass die Existenz des Integrals der Gleichung \(r=F(x,y,z,p,q,s,t)\), welches gewisse Anfangsbedingungen so erfüllen hat, erwiesen ist, falls die Gleichung: \[ r=bx+cy+dz+ep+fq+gs+ht+\cdots \] ein im Bereiche des Punktes \(x=y=0\) reguläres Integral besitzt, das ebenso wie seine Ableitung \(\partial z/\partial x\) für \(x=0\) verschwindet. Dies wieder ist möglich, wenn \[ A\frac{\partial^2z}{\partial u^2} - B\left(\frac{\partial^2z}{\partial u^2}\right)^2 = \varphi\left(u,z,\frac{\partial z}{\partial u}\right), \] wo \(A\) und \(B\) positive Grössen und \(u=x+\alpha y\) \((\alpha<1)\), durch eine Reihe gelöst werden kann: \[ z = A_3(x+\alpha y)^3+A_4(x+\alpha y)^4+\cdots, \] in welcher die Coefficienten \(A_3\), \(A_4\), ... ebenso wie \(\alpha\) positive Zahlen sind, und die Richtigkeit dieser Annahme wird bewiesen.
Genau derselbe Gedankengang kann auf das System \(\frac{\partial^nz_i}{\partial x^n}=F_i\) \((i=1,2,\dots,q)\) angewandt werden.

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Full Text: DOI Numdam EuDML