×

zbMATH — the first resource for mathematics

Ueber die Integration partieller linearer Differentialgleichungen durch vielfache Integrale. (German) JFM 29.0317.01
Es wird gezeigt, dass die vielfachen Integrale mit veränderlichen Parametern bei partiellen linearen Differentialgleichungen mit rationalen Coefficienten ebenso verwendet werden können wie die einfachen Integrale bei gewöhnlichen Differentialgleichungen, und zwar gelingt dies durch Benutzung von Verallgemeinerungen der Lagrange’schen Beziehung zwischen adjungirten Differentialausdrücken. Diese Beziehungen werden in der Form erhalten: \[ \psi\frac{\partial^{h+k}\varphi}{\partial x^h\partial y^k} = (- 1)^{h+k}\sum_{\mu,\nu=0}^{h,k}(-1)^{\mu+\nu}\binom h{\mu}\binom k{\nu}\frac{\partial^{\mu+\nu}}{\partial x^\mu\partial y^\nu}\left[\varphi\frac{\partial^{h-\mu+k-\nu}\psi}{\partial x^{h- \mu}\partial y^{k-\nu}}\right] \] und: \[ \begin{split}\psi\sum_{h,k=0}^{\mu,\nu}P_{h,k}(x,y) \frac{\partial^{h+k}\varphi}{\partial x^h\partial y^k} - \varphi\sum_{h,k=0}^{\mu,\nu}(-1)^{h+k}\frac{\partial^{h+k}}{\partial x^h\partial y^k}[P_{hk}(x,y)\psi]\\ =\frac{\partial}{\partial x}P(\varphi,\psi) + \frac{\partial}{\partial y}Q(\varphi,\psi),\end{split} \] wo \(P\) und \(Q\) gewisse in \(\varphi\) und \(\psi\) bilineare Differentialausdrücke bezeichnen. Die partiellen Differentialgleichungen \[ \sum_{\mu,\nu,h,k}C_{\mu,\nu}^{(h,k)}x^\mu y^\nu \frac{\partial^{h+k}\varphi}{\partial x^h\partial y^k} = 0 \] können auf die beiden Formen: \[ \sum_{h,k}x^hy^kf_{h,k}\left(\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y}\right)\varphi = 0 \] und: \[ \sum_{h,k}x^hy^kF_{h,k}\left(x\frac{\partial}{\partial x},y\frac{\partial}{\partial y}\right)\varphi = 0 \] gebracht werden, wo die Symbole \(f\) und \(F\) für Ausdrücke der Form \(\sum\limits_{h,k}C^{(h,k)}\left(\frac{\partial}{\partial x}\right)^h \left(\frac{\partial}{\partial y}\right)^k\varphi\) und \(\sum\limits_{h,k}C^{(h,k)}\left(x\frac{\partial}{\partial x}\right)^h \left(y\frac{\partial}{\partial y}\right)^k\varphi\) gebraucht werden. Setzt man nun \(\varphi=e^{ux+vy}\), wendet die obigen Beziehungen auf diese Gleichungen an und integrirt, so erhält man den Satz: Ist \(\psi\) eine Lösung von: \[ \sum_{h,k}f_{h,k}\left(-\frac{\partial}{\partial x},- \frac{\partial}{\partial y}\right)x^hy^k\psi = 0, \] und sind die Integrationswege so gewählt, dass \[ \int_{(x)}\int_{(y)}\left(\frac{\partial}{\partial x}P + \frac{\partial}{\partial y}Q\right)dxdy = 0 \] identisch erfüllt ist, so genügt \(\Psi(u,v)= \int_{(x)}\int_{(y)} e^{ux+vy}\psi(x,y)dxdy\) der Gleichung: \[ \sum_{h,k}f_{h,k}(u,v)\frac{\partial^{h+k}}{\partial u^h\partial v^k}\Psi = 0. \] Gleichzeitig besteht zwischen den beiden hier auftretenden Differentialgleichungen eine reciproke Beziehung, infolge deren sie sich gegenseitig durch bestimmte Integrale integriren. Aehnliche Sätze werden für andere Formen der gegebenen Differentialgleichungen abgeleitet.

PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI
References:
[1] Man sieheSchlesinger,Über die Integration linearer homogener Differential-gleichungen durch Quadraturen (Crelles Journal, Heft 2, Bd. 116) sowie meine gleichzeitige ArbeitÜber gewisse durch bestimmte Integrale vermittelte Bexiehungen xwischen linearen Differentialgleichungen mit rationalen Coefficienten (Acta Soc. Scient. Fenn., Tom. 21).
[2] Cf.Hj. Holmgren. Sv. Vet.-Akad. Hand. Bd. 5. N:o. 11. (Formel 33).
[3] C. f.Darboux,Leçons sur la théorie générale des surfaces. II. Partie, § 357.
[4] Bekanntlich benutzt man die Symbolik \(\left( {x\frac{d}{{dx}}} \right)^n \varphi = x\frac{d}{{dx}}x\frac{d}{{dx}} \ldots x\frac{d}{{dx}}\varphi ,\) welche also mit \(x^n \frac{{d^n \varphi }}{{dx^n }}\) nicht verwechselt werden darf.
[5] Aus der bekannten Formel \(x^n \frac{{d^n \varphi }}{{dx^n }} = x\frac{d}{{dx}}\left( {x\frac{d}{{dx}} - I} \right) \ldots \left( {x\frac{d}{{dx}} - n + I} \right)\varphi \) folgt, wenn man durchx n ersetzt und die Formel (8) benutzt: \(\left( {x\frac{d}{{dx}} - a + I} \right) \ldots \left( {x\frac{d}{{dx}} - a + n} \right)\varphi = x^a \frac{{d^n }}{{dx^n }}\left[ {x^n - ^a \varphi } \right].\)
[6] Acta Soc. Scient. Fenn., Tom. 21.
This reference list is based on information provided by the publisher or from digital mathematics libraries. Its items are heuristically matched to zbMATH identifiers and may contain data conversion errors. It attempts to reflect the references listed in the original paper as accurately as possible without claiming the completeness or perfect precision of the matching.