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Ueber den Fundamentalsatz der projectiven Geometrie. (German) JFM 29.0457.02

Ueber den Fundamentalsatz der projectiven Geometrie, nach welchem die projective Beziehung zwischen zwei Geraden einer Ebene durch drei Paare entsprechender Punkte eindeutig bestimmt ist, sind in den letzten Jahren viele Publicationen erschienen, die sich auf die zum Beweise des Satzes notwendigen Axiome beziehen. H. Wiener hatte nun in seinem Aufsatze “Ueber die Grundlagen und den Aufbau der Geometrie” (Deutsche Math. Ver. 1, 47; F. d. M. 24, 500, 1892, JFM 24.0500.02) die Behauptung ausgesprochen, dass sich jener Fundamentalsatz aus dem Satze des Desargues über zwei perspective Dreiecke und dem Satze des Pascal für einen aus zwei Geraden bestehenden Kegelschnitt ohne alle Stetigkeitsaxiome beweisen lasse. Hieran anknüpfend, liefert Schur einen Beweis des Pascal’schen Satzes für zwei Gerade nach einem auf Dandelin (Recherches nouvelles sur les sections du cône ..., Annales de Gergonne, 15, 387) zurückgehenden Verfahren, und zwar einen Beweis, der nur von den Congruenzaxiomen (Spiegelungen) Gebrauch macht, nicht aber von dem sogenannten Archimedischen Postulat. Auf den Pascal’schen Satz für zwei Gerade lässt sich dann leicht der Fundamentalsatz der projectiven Geometrie zurückführen.

Citations:

JFM 24.0500.02
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References:

[1] Zeuthen, Sur le fondement de la Géométrie projective, Comptes rendus 1898, p. 213. Vergl. die vorhergehenden Artikel über denselben Gegenstand, ibid. 1897, p. 638 und p. 859.
[2] F. Klein, Gutachten betreffend den dritten Band der Theorie der Transformationsgruppen von S. Lie, physik.-mathemat. Gesellschaft, Kasan, 1897, p. 22 (abgedruckt in Bd. 50 der mathematischen Annalen). · JFM 28.0417.05
[3] Veronese, Fondamenti di Geometria, Padova 1891, p. XXIX.
[4] Vergl z. B. Schönfliess, Sur les nombres transfinis de Mr. Veronese, Rendiconti di Acc. dei Lincei, 1897, p. 362, und Veronese, Segmenti e numeri transfiniti, ib. 1898, p. 79.
[5] H. Wiener, Ueber die Grundlagen und den Aufbau der Geometrie, Jahresber. d. Deutschen Mathematiker-Vereinigung, 1. Bd., p. 47.
[6] Dandelin, Recherches nouvelles sur les sections de cône et sur les hexagones inscrits et circonscrits à ses sections, Annales de Gergonne, t. 15. p. 387.
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