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Le trasformazioni birazionali fra due spazî ad \(n\) dimensioni con particolare considerazione al caso di \(n=4\). (Italian) JFM 29.0476.01
Diese Abhandlung beginnt mit der für beliebig ausgedehnte lineare Räume aufgestellten Verallgemeinerung der Betrachtungen, welche man auf den ersten Seiten der berühmten Arbeit von Cremona liest: “Sulle trasformazioni razionali fra due spazi” (Annali di Mat. (2) 5); eine eingehendere Betrachtung widmet der Verf. dem vierdimensionalen Raume. Danach entwickelt er eine Bemerkung des Ref. (Il passato ed il presente delle principali teorie geometriche, \(2^{\text{e}}\) Aufl. S. 252), dass die Methode, welche Cremona erschöpfend durchgearbeitet hat, um von einer rationalen, auf einer Ebene dargestellten Fläche unendlich viele homaloidische Systeme und daher unendlich viele birationale Transformationen zu erhalten, sich auf beliebige lineare Räume ausdehnen lässt.
Die so erhaltene allgemeine Methode kann sogleich angewandt werden, wenn man die eindeutige Darstellung auf einem \(R_{n-1}\) benutzt, welche man von einer Quadrifläche im \(R_n\) durch eine stereographische Projection erhält. Setzt man im besonderen voraus, dass \(n=4\) ist, so gelangt man zu einigen bemerkenswerten homaloidischen Systemen, welche grösstenteils durch del Pezzo schon erforscht waren (Napoli Rend. 1895-97; vergl. F. d. M. 26, 628, 1895, JFM 26.0628.02; 27, 540, 1896, JFM 27.0540.01; 28, 583, 1897, JFM 28.0583.01).
Andere birationale Transformationen erhält man durch eine Verallgemeinerung des Begriffs der “schiefen Projection”, wodurch Steiner eine quadratische Verwandtschaft zwischen zwei verschiedenen Ebenen bestimmt hat; auf welche Weise die Verallgemeinerung hergestellt wird, ist aus folgenden Zeilen zu ersehen.
In einem \((n+1)\)-dimensionalen Raume \(R_{n+1}\) sind \(n\) unabhängige \((n- 1)\)-dimensionale Räume gegeben; es ist bekannt, dass durch jeden Punkt von \(R_{n+1}\) eine einzige Gerade geht, welche alle gegebenen Räume je in einem Punkte schneidet; sind daher zwei weitere \(n\)-dimensionale Räume \(R_n'\), \(R_n''\) in \(R_{n+1}\) gegeben, so geht durch jeden Punkt \(P'\) von \(R_n'\) eine eindeutig bestimmte von jenen Geraden, welche \(R_n''\) in einem Punkte \(P''\) schneidet. So entsteht zwischen den Punkten \(P'\), \(P''\) eine eine eindeutige Beziehung, welche im allgemeinen von der Ordnung \(n\) ist. Der Verf. beweist ihre Haupteigenschaften, wenn \(n\) beliebig ist, und die speciellen, welche mit der Hypothese \(n=3\) verbunden sind.
Aber auch diese allgemeine Methode ist einer Verallgemeinerung fähig. In der That betrachte man in \(R_m\) die folgenden unabhängigen Räume: \(R_{n_1}\), \(R_{n_2}\), ..., \(R_{n_{m-n+1}}\), wo die unteren Zeichen beliebige nichtnegative ganze Zahlen bedeuten, welche die Bedingung \[ n_1+n_2+\cdots+n_{m-n+1}=n \] erfüllen. Die \((m-n)\)-dimensionalen Räume von \(R_m\), welche den gegebenen je in einem Punkte begegnen, bilden ein solches System \(\infty^n\), dass durch jeden Punkt von \(R_m\), ein einziger geht. Da jeder dieser \((m-n)\)-dimensionalen Räume einen \(R_n\) in einem einzigen Punkte schneidet, so wird auf diese Weise zwischen zwei beliebigen \(n\)- dimensionalen Räumen von \(R_m\) eine birationale Verwandtschaft festgelegt. Hierbei entspricht jedem Werte \(n<m\) eine endliche Zahl von ein-eindeutigen Beziehungen zwischen zwei \(R_n\) von \(R_m\). Ist z.B. \(n=3\), so bekommt man zwei, ist \(n=4\), vier. Mit der Feststellung einiger ihrer Eigenschaften endet die Abhandlung.

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