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Les surfaces à courbures opposées et leurs lignes géodésiques. (French) JFM 29.0522.01
Der Verf. hat bereits in einer früheren Arbeit (C. R. 124, 1503-1505; Journ. de Math. (5) 3, 331-387; F. d. M. 28, 540, JFM 28.0540.02, u. 643, 1897, JFM 28.0643.01) über die geodätischen Linien allgemeine Untersuchungen angestellt und die Frage nach der Gestalt derselben für Flächen von durchweg positiver Krümmung erledigt. Nunmehr werden Flächen von überall negativer Krümmung behandelt, unter Ausschloss derjenigen mit gar keinen oder unendlich vielen ins Unendliche laufenden Schalen. Nachdem in Kap. I die allgemeine Gestalt dieser Flächen betrachtet ist, werden in Kap. II topologische Untersuchungen über die verschiedenen Arten des Zusammenhangs und die wesentlich verschiedenen geschlossenen Konturen auf denselben angestellt. Kap. III: Géodésiques fermées: Zu jedem irreduciblen Typus geschlossener Konture giebt es eine und nur eine Beschlossene geodätische Linie. Ausgeschlossen sind die Konture auf “nappes non évasées”, röhrenförmigen, ins Unendliche verlaufenden Teilen, wie sie sich an der Rotationsfläche der Tractrix finden. Auf solchen Teilen giebt es keine geschlossene geodätische Linie. Der Fall wird im Folgenden ausgeschlossen. Kap. IV. Géodésiques asymptotiques, bekannt von den Flächen constanter negativer Krümmung her. Es werden die bekannten Parallelensätze der nicht-enklidischen Geometrie für diese Linien nachgewiesen, wie: “Sind zwei geodätische Linien zu einer dritten asymptotisch, so sind sie es auch zu einander”. Kap. V. Géodésiques qui s’éloignent à l’infini. Jede ins Unendliche laufende Schale (röhrenförmige sind ausgeschlossen) lässt sich durch eine geschlossene geodätische Linie abgrenzen. Bei mehr als zweifachem Zusammenhang bleibt ein im Endlichen gelegenes Stück der Fläche übrig, welches von den geschlossenen geodätischen Linien begrenzt wird. Durchschneidet eine geodätische Linie diese Begrenzung, so läuft sie auf der Schalc, in die sie dabei eintritt, ins Unendliche. Schneidet eine auf dem endlichen Stück liegende geodätische Linie den Kontur nicht, so ist sie entweder asymptotisch zu diesem, oder sie ist eine “géodésique de troisième catégorie” (Kap. IV), die sich selbst beliebig oft beliebig nahe kommt, ohne sich zu schliessen. Sie ist mit beliebiger Annäherung geschlossen. Sie bietet darin ein Analogon zu den von Poincaré studirten Bewegungen, die mit beliebiger Annäherung periodisch sind.
Die Untersuchungsmethode des Verf. ist rein geometrischer, teilweise topologischer Natur. Formeln werden fast nicht gebraucht, Rechnungen gänzlich vermieden. Dies erleichtert das Verständnis der Arbeit wesentlich, lässt aber ein leichtes Misstrauen gegen die Allgemeingültigkeit der Resultate zurück (trotz der Sorgfalt, mit der alle Voraussetzungen angegeben sind), eine Eigentümlichkeit, die wohl allen rein geometrischen Untersuchungen zukommt und auf das allgemeine Misstrauen gegen die Anschauung zurückgeht (vergl. auch S. 416 diese Bandes, JFM 29.0416.02; JFM 29.0416.03).

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Full Text: EuDML