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Recherches sur les surfaces algébriques qui admettent pour ligne asymptotique une cubique gauche. (French) JFM 29.0531.01
Haben drei Flächen zweiter Ordnung eine kubische Curve \(\Gamma\) gemeinsam, und bezeichnet man denjenigen Punkt \(M'\), in welchem sich die drei Polarebenen eines beliebigen Raumpunktes \(M\) schneiden, als den zu \(M\) in Bezug auf \(\Gamma\) conjugirten, so ergiebt sich zunächst, dass zu einer Curve \(m^{\text{ter}}\) Ordnung, welche \(\Gamma\) in \(k\) Punkten schneidet und die Schmiegungsebene in \(h\) dieser Punkte berührt, eine Curve der Ordnung \(m'=3m-(k+h)\) conjugirt ist, und dass die entsprechende Formel für eine Fläche \(m^{\text{ter}}\) Ordnung \(m'=3m-4(k+h)\) ist. Wenn nun \(\Gamma\) eine Asymptotenlinie auf einer Fläche dritter Ordnung ist, so ist \(m=3\), \(k=h=1\), also \(m'=1\), und daraus ergiebt sich eine geometrische Definition für eine Fläche dritter Ordnung mit einer kubischen Asymptotenlinie sowie die Gleichung einer solchen Fläche. Soll allgemein eine Fläche \(m^{\text{ter}}\) Ordnung \(\Gamma\) zur Asymptotenlinie haben, so muss sie \(3(m-2)\) Doppelpunkte auf \(\Gamma\) besitzen, und die Coefficienten ihrer Gleichung müssen \(6m-2\) lineare Bedingungsgleichungen erfüllen; specielle Annahmen über das Verhältnis der Ordnungszahlen \(m\) und \(m'\) führen zu Flächen mit interessanten Eigenschaften. Eine geradlinige Fläche, deren sämtliche Asymptotenlinien \(\Gamma\)-Curven sind, kann definirt werden als Ort der Geraden, welche jeden Punkt einer \(\Gamma\)-Curve mit den Punkten verbindet, in welchen die entsprechende Schmiegungsebene eine feste Gerade, die Directrix, schneidet. Die verschiedenen möglichen Lagen dieser Geraden zu \(\Gamma\) bestimmen sechs Typen solcher Flächen unter ihnen die Cayley’sche, bei welcher \(\Gamma\) von der Directrix berührt wird.

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Full Text: DOI Numdam EuDML