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Etude des surfaces définies par l’équation \(R+R'=F(u)+F_1(u_1)\). (French) JFM 29.0549.01
Die Minimalflächen, welche bekanntlich dadurch definirt sind, dass bei ihnen zwischen den Hauptkrümmungsradien \(R\) und \(R'\) die Relation \(R+R'=0\) besteht, können als Specialfall einer viel allgemeineren Flächengattung aufgefasst werden. Diese Flächen sind dadurch bestimmt, dass bei ihnen (1) \(R+R'=F(u)+F_1(u_1)\) sein soll, wobei \(F\) und \(F_1\) beliebige Functionen ihrer Argumente vorstehen und die Richtungscosinus der Flächennormale durch die Formeln: \[ c = \frac{u+u_1}{uu_1+1},\,c' = \frac{u_1-u}{uu_1+1},\,c'' = \frac{uu_1- 1}{uu_1+1} \] gegeben werden. Man sieht leicht, dass die Gleichung der Tangentialebene der untersuchten Flächen: \[ (u+u_1)x+i(u_1-u)y+(uu_1-1)y+\xi = 0 \] ist, wobei \(\xi\) der Differentialgleichung: \[ \frac{\partial^4\xi}{\partial u^2\partial u_1^2} = 0\tag{2} \] genügt, d. h. \(\xi\) ist von der Form: \[ \xi = Au_1 + A_1u + B + B_1, \] wobei \(A\) und \(B\) Functionen von \(u\), \(A_1\) und \(B_1\) Functionen von \(u_1\) sind. Es liegt nahe, bei diesen Flachen nach einer ähnlichen Erzeugungsweise, wie sie Sophus Lie bei den Minimalflächen gefunden hat, zu fragen. Verf. findet nun die folgenden zwei Theoreme:
I. Führt man durch die Mitte eines geradlinigen Segmentes, dessen Enden \(M\) und \(M_1\) irgend zwei Raumcurven beschreiben, eine Gerade \(D\), welche dem Schnitte der Tangentialebenen in den Punkten \(M\) und \(M_1\) an zwei abwickelbare Flächen, welche die zwei Curven enthalten, parallel ist, so ist notwendig und hinreichend, damit die Congruenz der so definirten Geraden \(D\) normal zu einer Familie von Flächen steht, dass die gegebenen abwickelbaren Flachen isotrop seien.
II. Die Flächen, welche normal zu der soeben betrachteten Congruenz sind, sind diejenigen, welche Lösungen der Gleichung (1) oder (2) sind.
Wählt man die Ruckkehrcurven der abwickelbaren Flächen als die zu untersuchenden Curven, so wird \(A'+B-uB'=\) const., \(A_1'+B_1-u_1B_1'=\) const. Um hieraus Minimalflächen zu erhalten, braucht man nur die Constanten Null zu setzen. Hiermit hat man die Lie’sche Erzeugungsweise der Minimalflächen: sie ergeben sich als Ort der Mitte des geradlinigen Segments, dessen Enden die Ruckkehrcurven der zwei isotropen abwickelbaren Flächen, d. h. von Minimalcurven, beschreiben. Verf. betrachtet noch vier weitere Flächen, die zu der studirten Gattung gehören; er erhält dieselben durch Specialisirung der abwickelbaren Flachen bezüglich ihrer Curven.
Zum Schluss wird noch der allgemeine Satz bewiesen: Die Oberflächen, welche der Ort der Mitte eines Segments sind, dessen Enden irgend zwei Curven beschreiben, worden erhalten, indem man zu den durch die Gleichung (2) definirten Flächen gewisse zugehörige Flächen (développée moyenne, wie sie Montcheuil nennt) bestimmt. Unter dieser zugehörigen Fläche (développée moyenne) ist dabei die Fläche zu verstehen, welche der Ort der Mitte des Focalsegments einer zu einer Flächenfamilie normalen Congruenz ist.

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Full Text: DOI Numdam EuDML