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Ueber Gruppen, insbesondere continuirliche Gruppen von Cremona-Transformationen der Ebene und des Raumes. (German) JFM 29.0566.01

Der vorliegende Aufsatz wurde als Vortrag auf dem internationalen Mathematiker-Congress in Zürich (1897) gehalten; er behandelt zuerst kurz die ältere Litteratur über birationale oder Cremona-Transformationen der Ebene und des Raumes, um dann vorzüglich auf die gruppentheoretischen Untersuchungen aus der Theorie der Cremona-Transformationen einzugehen. Verf; bespricht einerseits die endlichen (d. h. die aus einer endlichen Anzahl von Transformationen bestehenden), andererseits die continuirlichen Gruppen im Sinne von Lie. Die Untersuchungen über endliche Gruppen in der Ebene, welche von den periodischen und vorzüglich den involutorischen Cremona-Transformationen ihren Ausgang nahmen, lassen sich in zwei Klassen einteilen, nämlich solche, bei denen die Ordnung (Autonne) und solche, bei denen die Aufzählung sämtlicher verschiedenen Typen ohne Rücksicht auf die Ordnung (S. Kantor und Wiman) die Hauptrolle spielt; für die Beantwortung der analogen Fragen im Raume ist noch wenig gethan. Auch bezüglich der continuirlichen Gruppen von Cremona-Transformationen sowohl der Ebene wie des Raumes können die erwähnten zwei Richtungen unterschieden werden. Noether hat sich (F. d. M. 28, 598, 1897, JFM 28.0598.01) mit einer Frage, die in das Gebiet der Ordnung schlägt (nämlich der Aufzählung der fünf verschiedenen Arten von continuirlichen Gruppen quadratischer Transformationen) beschäftigt; Untersuchungen von Enriques und Fano haben die Frage nach den Typen erledigt. Die Ergebnisse dieser letzteren Untersuchungen, dass jede Gruppe von Cremona-Transformationen der Ebene birational in eine von drei verschiedenen Kategorien (projective, Gruppen quadratischer Transformationen und Gruppen von Jonquières) und jede Gruppe von Cremona-Transformationen des Raumes in eine von fünf verschiedenen Typen (projective, conforme, verallgemeinerte Jonquières’sche und zwei dreigliedrige Gruppen dritter, bez. siebenter Ordnung) birational übergeführt werden kann, werden in besonders eingehender Weise besprochen; die primitiven Gruppen werden dabei von den imprimitiven abgesondert. Zum Schluss werden einige Resultate über verallgemeinerte Jonquières’sche Gruppen angegeben und verschiedene Fragen für die Cremona-Transformationen des \(R_n\) aufgeworfen. Vor allen Dingen wäre die Erledigung der Frage erwünscht, ob es für \(n>2\) ein dem alten Noether’schen Satze (Erzeugung aller Cremona-Transformationen der Ebene durch quadratische) ähnliches Theorem über einfache erzeugende Operationen sämtlicher Cremona-Transformationen des \(R_n\) giebt (vergl. die folgenden Referate, JFM 29.0567.01; JFM 29.0567.02; JFM 29.0567.03; JFM 29.0567.04; JFM 29.0568.01).

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References:

[1] Journ. für Mathem., Bd. 5; 1830. · ERAM 006.0245cj
[2] Journ. für Mathem., Bd. 8; 1832: Zeitschr. für Mathem., Bd. 11; 1866: Ann. de l’Ec. Norm. Sup.,VI; 1869.
[3] Mem. della R. Acc. di Torino, vol.21; 1864.
[4] Magnus: ”Aufgaben und Lehrsätze ...”; Berlin, 1833.
[5] Nouv. Ann,II, 6, 1864. Vgl. auch: Giorn. di Matem., vol. 23; 1885.
[6] Mem. Acc. di Bologna,II, 2{\(\deg\)} e 5{\(\deg\)}; Giorn. di Matem., vol. 1{\(\deg\)} e 3{\(\deg\)}.
[7] Mathem. Papers, 1882, p. 538; Journ. für Math., Bd. 73, 1873; Math. Ann., Bd. 5., 1872.
[8] Proc. London Math. Soc., 1869 bis 1871; Rend. Ist. Lomb. vol. 4{\(\deg\)}, 1871; Annali di Matem., vol. 5{\(\deg\)}, 1872; Math. Ann., Bd. 4, 1871.
[9] De Paolis: ”Sopra un sistema omaloidico ...”; Giorn. di Matem. vol. 13. 1875. · JFM 07.0478.01
[10] Vgl. den Jahresbericht 1896, Heft 1, S. 68.
[11] Annali di Matem., s. 2{\(\deg\)}, vol. 26.
[12] Annali di Matem., vol. 8{\(\deg\)}, 1877.
[13] Journ. de Mathém., IV., vol. 1.
[14] ibid., Journ. de Mathém., vol. 2.
[15] Journ. de Mathém., IV., vol. 4.
[16] ”Prémiers fondements ...”; Naples, 1891.
[17] Acta Mathem., Bd. 19.
[18] ”Theorie der endlichen Gruppen von eindeutigen Transformationen in der Ebene.” (Berlin, Mayer und Müller, 1895).
[19] Amer. Journ., vol. 18–19; 1896–97.
[20] Rend. R. Acc. dei Lincei, maggio 1893.
[21] Vgl. unseren Aufsatz: ”I gruppi continui di trasformazioni cremoniane dello spazio”. (Annali di Matem., s. 2{\(\deg\)}, vol. 26.)
[22] ”Theorie der Transformationsgruppen”,III. Abschn., s. 35–36.
[23] Vgl. meinen Aufsatz: ”Sulle superficie algebriche con un gruppo continuo transitivo di trasformazioni proiettive in sè”, No2 (Rend. di Palermo, t. X).
[24] Vgl. ”Sulle superficie algebriche con un gruppo continuo transitivo di trasformazioni proiettive in sè”. meine gen. Aufsatz, No. 4 (Rend. di Palermo, t. X).
[25] Ibid., ”Sulle superficie algebriche con un gruppo continuo transitivo di trasformazioni proiettive in sè”, (Rend. di Palermo, t. X). No. 3,4.
[26] Es sind ja die Kreisverwandtschaften die einzigen birationalen und zugleich auch conformen Transformationen der Ebene.
[27] ”Theorie der Transformationsgruppen”,III. Abschn. s. 122 u. ff. · JFM 12.0292.01
[28] Vgl. Enriques: Rend. R. Acc. dei Lincei dicembre 1893; Mathem. Ann., Bd. 46.
[29] ”Theorie der Transformationsgruppen”;III. Abschn., §§. 34, 35; vgl. auch II. Abschn., Kap. 23, 24.
[30] Mathem. Ann., Bd. 3; vgl. auch: Enriques: Mathem. Ann., Bd. 49.
[31] Dazu gehört eben die Betrachtung der sogen. ”Parametergruppe” (”Theorie der Transformationsgruppen”,I. Abschn., Cap. 21).
[32] Von dieser ”kanonischen Darstellung” ist bereits in Herrn Enriques ”Conferenze di Geometria” (aotogr. Vorles.; Bologna, 1895; No. 30) die Rede. Dieselbe wurde auch auf die Theorie der algebraischen Flächen angewandt. Vgl. Castelnuovo et Enriques: ”Sur les surfaces algébriques...”; Compt. Rend, 29. juillet 1895).
[33] Theorie der Transformationsgruppen”,III, Abschn., Kap. 8, §§ 37–40.
[34] Ibid., Theorie der Transformationsgruppen”,III. Abschn., Kap. 8, §§. 41–44.
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