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Determination of the structure of all linear homogeneous groups in a Galois field which are defined by a quadratic invariant. (English) JFM 30.0137.03

Die erste Arbeit (siehe JFM 30.0137.02) beschäftigt sich mit der Structur der Gruppe derjenigen linearen Substitutionen, deren Coefficienten aus dem Galois’schen Körper (Feld) \(p^n:(G.F.[p^n])\) entnommen sind, und welche die besondere quadratische Form \[ \xi_1\xi_2 + \xi_3\xi_4 + \xi_5\xi_6 + \cdots + \xi_{2M-1}\xi_{2M} \] invariant lassen. Falls \(p\) im besonderen \(=2\) ist, hat man es mit einer Verallgemeinerung der von C. Jordan (Traité des substitutions, 199 u. 440) untersuchten ersten hypoabelschen Gruppe zu thun. Die hier vorliegende Gruppe ist daher im Falle \(p=2\) schon in früheren Arbeiten des Verfs. (F. d. M. 29, 118 u. 119, 1898, JFM 29.0118.01, JFM 29.0118.03 und JFM 29.0119.01) als verallgemeinerte erste hypoabelsche Gruppe bezeichnet worden. In Ergänzung zu den früheren Referaten des Jahrbuchs sei bemerkt, dass die verallgemeinerte erste hypoabelsche Gruppe zu einem System von einfachen Gruppen der Ordnung \[ (2^{nM} - 1).[(2^{2n(M-1)} - 1)2^{2n(M-1)}].[(2^{2n(M-2)} - 1).2^{2n(M- 2)}]\dots[(2^{2n} - 1).2^{2n}] \] führt; dabei muss \(M>2\) sein.
Der Gegenstand der ersten Arbeit ist nur ein specieller Fall der in der zweiten umfangreicheren Abhandlung betrachteten allgemeinen Frage, nämlich die Gruppe der linearen Substitutionen in \(m\) Variabeln, welche irgend eine quadratische Form von nicht verschwindender Determinante invariant lässt, zu untersuchen; dabei sollen sowohl die Coefficienten der Substitutionen wie der Form aus dem \(G.F.[p^n]\) entnommen sein. Man muss hier zwischen den Fällen \(p>2\) und \(p=2\) unterscheiden.
Wenn \(p>2\) ist, so kann bei ungeradem \(m\) die Gruppe stets durch eine Substitution mit Coefficienten aus dem \(G.F.[p^n]\) in die orthogonale Gruppe transformirt werden; für gerades   ist dies jedoch nicht stets möglich. Wenn die Gruppe bei geradem \(m\) nicht in die orthogonale übergeführt werden kann, so lässt sie sich derartig transformiren, dass sie eine Form: \[ f = \sum_{i=1}^{i=m-1}\xi_i^2 + \nu\xi_m^2 \] invariant lässt.
Verf. beschäftigt sich zunächst wieder mit der Structur der orthogonalen Gruppe, wodurch die Resultate seiner früheren Arbeiten ergänzt werden (vergl. F. d. M. 29, 118 u. 119, 1898, JFM 29.0118.01, JFM 29.0118.02, JFM 29.0118.03, JFM 29.0119.01 und JFM 29.0119.02).
Durch die Untersuchung der Structur derjenigen Gruppe, welche \(f\) invariant lässt, findet Dickson eine neue Schar einfacher Gruppen, nämlich solche der Ordnungen: \[ \begin{split}\frac12\left[p^{n(m-1)} + (\pm)^{\frac m2}p^{n(\frac m2- 1)}\right]\\ .[(p^{n(m-2)}-1).p^{n(m-3)}]\dots[(p^{2n}-1).p^n];\end{split} \] \(m\) ist dabei eine gerade Zahl, das Zeichen \(\pm\) hängt davon ab, ob \(p^n\) von der Form \(4l\pm1\) ist; \(m\) muss \(>2\) sein.
Für \(p=2\) und gerades \(m\) kann die vorgelegte Gruppe im \(G.F.[2^n]\) stets so transformirt werden, dass sie, die Form: \[ \xi_1\xi_2 + \xi_3\xi_4 + \cdots + \xi_{m-1}\xi_m + \lambda(\xi_{m-1}^2 + \xi_m^2) \] invariant lässt; dabei hat \(\lambda\) entweder den Wert 0 oder einen solchen Wert, dass die Form \[ \xi_{m-1}\xi_m + \lambda(\xi_{m-1}^2 + \xi_m^2) \] im \(G.F.[2^n]\) irreducibel ist. Für \(\lambda=0\) haben wir die verallgemeinerte erste hypoabelsche Gruppe vor uns. Für \(\lambda\neq0\) haben wir es mit einer Verallgemeinerung der von Jordan (Traité, S. 206 sowie 440) untersuchten zweiten hypoabelschen Gruppe zu thun. Diese Gruppe wird daher vom Verf. als verallgemeinerte zweite hypoabelsche Gruppe bezeichnet. Dieselbe liefert uns ein System von einfachen Gruppen der Ordnung: \[ (2^{nM} + 1)[(2^{2n(M-1)}-1).2^{2n(M-1)}].[(2^{2n(M-2)} - 1).2^{2n(M- 2)}]\dots \]
\[ \dots(2^{2n} - 1).2^{2n}; \] hierbei ist \(m=2M\) gesetzt; vorauszusetzen ist \(M>1\).
Für \(p=2\) und \(m=2M+1\) wird man auf die Betrachtung derjenigen Gruppe geführt, welche \[ \xi_0^2 + \sum_{i=1}^{i=2M-1}\xi_i\xi_{i+1} \] invariant lässt. Diese Gruppe ist einfach isomorph mit der Abel’schen Gruppe bezüglich \(2M\) Variabeln im \(G.F.[2^n]\). Mit der Erweiterung der Jordan’schen Untersuchungen (Traité, 171) bezüglich der Abel’schen Gruppe auf das Galois’sche Feld hat sich Dickson schon früher in zwei Aufsätzen im Quart. J. 29, 169 und 30, 383 beschäftigt.
Der Referent bemerkt zum Schluss noch, dass die inhaltsreichen Arbeiten noch eine Reihe von interessanten Einzelresultaten geben, auf die der Kürze wegen nicht eingegangen werden kann.

MSC:

20G40 Linear algebraic groups over finite fields

Keywords:

Linear groups
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