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Concerning the four known simple linear groups of order 25920, with an introduction to the hyper-abelian linear groups. (English) JFM 30.0138.01

Dickson beschäftigt sich zunächst mit der hyperabelschen Gruppe; er versteht darunter die Gruppe aller derjenigen linearen Substitutionen in \(2m\) Variabeln mit Coefficienten aus einem Galois’schen Körper (Feld): \(G.F.[p^{2n}]\), welche die Form: \[ \sum_{i=1}^{l=m}\begin{vmatrix} \xi_{2l-1}&\xi_{2l}\\ \xi_{2l- 1}^{p^n}&\xi_{2l}^{p^n}\end{vmatrix} \] invariant lassen. Die Bezeichnung “hyperabelsche Gruppe” wurde deswegen gewählt, weil die Untergruppe, die aus allen Substitutionen mit Coefficienten aus dem \(G.F.[p^n]\) besteht, die Abel’sche Gruppe von \(2m\) Variabeln im \(G.F.[p^n]\) ist. Die hier vorliegende hyperabelsche Gruppe erweist sich als einfach isomorph zu der hyperorthogonalen Gruppe von \(2m\) Variabeln im \(G.F.[p^{2n}]\), d. h. der Gruppe, welche \(\xi_1^{p^n+1} + \xi_2^{p^n+1} + \cdots + \xi_{2m}^{p^n+1}\) invariant lässt. (Vergl. das nachfolgende Referat, JFM 30.0140.01). Für diese Gruppe wird deswegen hier die Bezeichnung “hyperorthogonale Gruppe” in Vorschlag gebracht, weil diejenigen ihrer Substitutionen, welche Coefficienten aus dem \(G.F.[p^n]\) haben, für \(p>2\) die allgemeine orthogonale Gruppe in \(2m\) Indices für das \(G.F.[p^n]\) bilden. Nachdem Verf. noch näher auf die Structur der hyperabelschen und der in ihr enthaltenen Abel’schen Gruppe eingegangen ist, wendet er sich zu dem Hauptgegenstand der Arbeit, nämlich der Untersuchung von vier einfachen Gruppen der Ordnung 25920. Diese vier einfachen Gruppen ergeben sich bei der Betrachtung der Structur:
1. der hyperabelschen Gruppe (resp. hyperorthogonalen) von 4 Variabeln im \(G.F.[2^2]\) (vergl. das nachfolgende Referat, JFM 30.0140.01);
2. der Abel’schen Gruppe in 4 Variabeln, wenn die Coefficienten mod. 3 betrachtet werden;
3. der zweiten hypoabelschen Gruppe in 6 Variabeln, wenn die Coefficienten mod. 2 betrachtet werden (vergl. das vorangehende Referat, JFM 30.0137.03);
4. der orthogonalen Gruppe in 5 Variabeln, wenn die Coefficienten mod. 3 genommen werden (vergl. F. d. M. 29, 118, 1898, letzte Zeile, JFM 29.0118.03).
Der einfache Isomorphismus zwischen 2. und 4. ergiebt sich aus einem weitergehenden Theorem, das Dickson im American M. S. Bull. (2) 5, 338 (Referat s. unten S. 142, JFM 30.0142.02) zur Sprache brachte. Um den Isomorphismus von (1), (2), (3) zu zeigen, construirt der Verf. eine abstracte Gruppe derselben Ordnung 25920, welche von 6 Operationen \(B\), \(B_1\), \(B_2\), \(B_3\), \(B_4\), \(B_5\) erzeugt wird; zwischen diesen Operationen bestehen dabei die Relationen: \[ \begin{matrix}\r&\quad\l\\ \text{(I.)}& B^3=1,\,BB_1=B_1B,\,BB_2=B_2B,\,BB_4=B_4B,\,BB_5=B_5B,\\ \text{(II.)}& (BB_3)1 3=B_1B_5,\\ \text{(III.)}& B(B_1B_5B_3B_2B_4)^3B = (B_1B_5B_3B_2B_4)^3,\\ \text{(IV.)}& (B_1B_2B_3B_1B_2)(B^{-1}B_3B).(B_1B_2B_3B_1B_2)(B^{- 1}B_3B)=B_5,\\ \text{(V.)}& B_1^2=B_2^2=B_3^2=B_4^2=B_5^2,\\ \text{(VI.)}& (B_1B_2)^3=(B_2B_3)^3=(B_3B_4)^3=(B_4B_5)^3=1,\\ \text{(VII.)}& (B_1B_3)^2=(B_1B_4)^2=(B_1B_5)^2=(B_2B_4)^2=(B_2B_5)^2=(B_3B_5)^2 =1.\end{matrix} \] Diese abstracte Gruppe erweist sich sowohl einer Permutationsgruppe von 36 Buchstaben wie den Gruppen (1), (2), (3) holoedrisch isomorph. Durch die 5 Operationen \(B_1\), \(B_2\), \(B_3\), \(B_4\), \(B_5\) wird eine Gruppe der Ordnung 720 erzeugt; diese ist nicht nur der symmetrischen Gruppe von 6 Buchstaben (Satz von Moore, cf. F. d. M. 28, 122, 1897, JFM 28.0121.03), sondern, wie Verf. beweist, auch der Abel’schen Gruppe von 4 Variabeln im \(G.F.[2]\) holoedrisch isomorph. Einen Beweis für den Isomorphismus der Abel’schen Gruppen von 4 Variabeln, wenn die Coefficienten mod. 2 betrachtet werden, mit der symmetrischen Gruppe von 6 Buchstaben hat auch schon Jordan in seinem Traité des substitutions, S. 242, erbracht.
Auch auf die Discussion der Untergruppen der vorliegenden Gruppe wird eingegangen.

MSC:

20G40 Linear algebraic groups over finite fields
20D08 Simple groups: sporadic groups

Keywords:

Linear groups
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