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The structure of the linear homogeneous groups defined by the invariant \(\lambda_1\xi_1^r+\lambda_2\xi_2^r+\cdots+\lambda_m\xi_m^r\). (English) JFM 30.0140.01

Für \(r=2\) giebt es bekanntlich eine continuirliche Gruppe linearer homogener Substitutionen, welche \[ \varphi_r = \sum_{i=1}^{i=m}\lambda_i\xi_i^r \] invariant lässt; bei dem in der vorliegenden Arbeit untersuchten Fall \(r>2\) existirt keine continuirliche Gruppe mehr, sondern jede Substitution, welche \(\varphi_r\) invariant lässt, ändert entweder die einzelnen Glieder \(\lambda_1\xi_1^r\), \(\lambda_2\xi_2^r\), ..., \(\lambda_m\xi_m^r\) für sich nicht oder vertauscht sie nur unter einander. Dasselbe Resultat gilt auch für die lineare Congruenzgruppe im Galois’schen Körper (Feld): \(G.F.[p^{2s}]\), ausgenommen dass \(r\) von der Form \(p^s+1\) oder durch \(p\) teilbar ist. Hat man es mit diesen Ausnahmefällen zu thun, so kann man die Discussion auf die Untersuchung der Gruppe linearer homogener Substitutionen im \(G.F.[p^{2s}]\), welche \[ \xi_1^{p^s+1} + \xi_2^{p^s+1} + \cdots + \xi_m^{p^s+1} \] invariant lässt, zurückführen. Die Ordnung dieser Gruppe, welche für den speciellen Fall \(m=2\) schon früher eingehend von Moore (A doubly infinite system of simple groups. Chicago Congress math. papers; F. d. M. 27, 104, 1896, JFM 27.0104.01) untersucht wurde, ist \[ \Omega_{mps} = (p^{sm}-[-1]^m).p^{s(m-1)}(p^{s(m-1)}-[-1]^{m-1}).p^{s(m- 2)}\cdots \]
\[ \cdots(p^{2s}-1).p^s.(p^s+1). \] Diejenigen Substitutionen der Gruppe von der Ordnung \(\Omega_{mps}\), welche die Determinante 1 haben, bilden eine invariante Untergruppe \(H_{mps}\) vom Index \(p^s+1\). Die Gruppe \(H_{mps}\) besitzt als grösste invariante Untergruppe eine Gruppe der Ordnung \(d\), wobei \(d\) den grössten gemeinsamen Teiler von \(m\) und \(p^s+1\) bedeutet. Mithin gelangt man von \(H_{mps}\) aus zu einem System einfacher Gruppen der Ordnung \(\frac{\Omega_{mps}}{d(p^s+1)}\).
Eine Ausnahmestellung nehmen dabei die Fälle \(m=2\); \(p^s=2\); \(m=2\); \(p^s=3\); \(m=3\); \(p^s=2\) ein. Für \(m>2\) sind die niedrigsten Ordnungen der neuen einfachen Gruppen: 6048, 25920, 62400, 126000, 3265920. Verf. giebt auch, worauf noch hingewiesen sei, die erzeugenden Operationen der Gruppe der Ordnung \(\Omega_{mps}\) an. Für die Gruppe der Ordnung \(\Omega_{mps}\) bringt Dickson an anderer Stelle den Namen “hyperorthogonale Gruppe” in Vorschlag (vergl. das vorangehende Referat, JFM 30.0138.01).

MSC:

20G15 Linear algebraic groups over arbitrary fields
20G40 Linear algebraic groups over finite fields
20D08 Simple groups: sporadic groups
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References:

[1] Thid field is denoted by the symbolGF[pn]. We use the theory in the abstract from given by Moore in the paper,A doubly infinite system of simple groups (Chicago Congress Mathematical Papers).
[2] Determination of the structure of all linear homogeneous groups in a Galois field which are defined by a quadratic invariant (American Journal of Mathematics, Vol. 21, pp. 193-256).Systems of simple groups derived from the Orthogonal group (Proceedings of the California Academy of Sciences, Third series Vol. 1, Nos. 4 and 5);Bulletin of the American Math. Society, Feb. and May, 1898.
[3] The analytic representation of substitutions on a pawer of a prime number of letters with a discussion of the linear group (Annals of Mathematics, 1897). See §14, p. 75.
[4] Moore,A doubly infinite system of simple groups (Chicago Congress Mathematical Papers, pp. 208-242). See §6, p. 230.
[5] Dickson,Orthogonal group in a Galois field (Bulletin of the American Mathematical Society, February, 1898), p. 197. · JFM 29.0118.03
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